1 m X g∈G g−1◦g(x) =x doncF est inclus dans l'image dep+

MPSI B Corrigé du DM 8 24 avril 2020

1. L'applicationu⁺est linéaire comme combinaison de composées d'applications linéaires.

Considéronsu◦hpour unhquelconque dansG: u⁺◦h= 1

m X

g∈G

g⁻¹◦u◦g◦h= 1

mh◦X

g∈G

(g◦h)⁻¹u◦(g◦h).

Pourhxé,g⁰ =g◦hdécrit le groupeGlorsqueg décritGdonc u⁺◦h= 1

mh◦ X

g⁰∈G

g⁰⁻¹◦u◦g⁰=h◦u⁺.

2. Commeu⁺ commute avec tout élémentgdeG, u⁺⁺= 1

m X

g∈G

g⁻¹◦u⁺◦g= 1 m

X

g∈G

g⁻¹◦g◦u⁺=u⁺.

3. a. L'applicationpest un projecteur surF qui est stable par les éléments deGdonc :

∀x∈F, p⁺(x) = 1 m

X

g∈G

g⁻¹◦p(g(x)

|{z}

∈F

) = 1 m

X

g∈G

g⁻¹◦g(x) =x

doncF est inclus dans l'image dep⁺.

D'autre part, pour toutxdeE,p(g(x))∈F doncg⁻¹◦p◦g(x)∈F par stabilité puisp⁺(x)∈F par linéarité. On en déduit queF est l'image dep⁺.

b. Soitg et hquelconques dansGety quelconque dansE. Alors

p(y)∈F ⇒g◦h⁻¹◦p(y)∈F (stabilité deF)

⇒p◦g◦h⁻¹◦p(y) =g◦h⁻¹◦p(y)⇒p◦g◦h⁻¹◦p=g◦h⁻¹◦p (à cause du∀y)

⇒g⁻¹◦p◦g◦h⁻¹◦p◦h=g⁻¹◦g◦h⁻¹◦p◦h=h⁻¹◦p◦h.

c. Pour montrer quep⁺ est un projecteur, on formep⁺◦p⁺. p⁺◦p⁺= 1

m² X

(g,h)∈G²

g⁻¹◦p◦g◦h⁻¹◦p◦h

= 1 m²

X

(g,h)∈G²

h⁻¹◦p◦h= 1 m

X

g∈G

p⁺=p⁺.

d. Pour toutx∈kerp⁺,p⁺◦g(x) =g◦p⁺(x) = 0doncg(x)∈kerp⁺. D'oùkerp⁺ est stable parG.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M0208C