A 523 Antoine Verroken
1. a + b + c = 0 b = -a - c
A = a^4 + [ -( a + c )]^4 + c^4 = 2*a^4 + 4*a*c^3 + 6*a^2*c^2 + 4*a^3*c + 2*c^4
B = 2*A = 4*a^4 + 8*a*c^3 + 12*a^2*c^2 + 8*a^3*c + 4*c^4 = f^2 (1) f ^2= (m*a^2 + p*a*b + r*c^2 )^2
f^2 = m^2*a^4 + p^2*a^2*b^2 + r^2*c^4 + 2*m*p*a^3*c + 2*m*r*a^2*c^2 +2*p*r*a*c^3 (2) (1)(2) m^2 = 4 m = 2 2*m*p = 8 p = 2
r^2 = 4 r = 2 f^2 = ( 2*a^2 + 2*a*c + 2*c^2 )^2
2. G = âge grand-père M = âge grand-mère
A = somme( G^4 ,G=1..G)=1/30*G*(G+1)*(2*G+1)*(3*G^2+3*G-1) B = somme( G^2 ,G=1..G)=1/6 *G*(G+1)*(2*G+1)
A/B = 1/5 * ( 3*G^2 + 3*G - 1 ) = M^2
G = 1/6 * ( -3 + sqrt( 9 + 12 *( 1 + 5*M^2 )) (3)
P^2 = 9 + 12 ( 1 + 5*M^2 ) = 21 + 60*M^2 = équation Pell (4)
P² - 60*M² = 1 31² - 60*4² = 1 d = 31 d =4 P² - 60*M² = 21 9² - 60*1² = 21 t = 9 s = 1
selon Holm P - M*sqrt(60) = ( 9 -1*sqrt(60)) * ( 31 +- 4*sqrt(60))^n n = 0,+-1 ,+-2 ... (5) (5) donne toutes les solutions de (4)
n +- P M
0 - 9 1
1 + 39 5
1 - 519 67
2 + 2409 311
avec M = 67 (3) G = 86.
3. a. (2*n)^4 + 0.25 / (2*n-1)^4 + 0.25 = ( 8*n² + 4*n +1 ) / ( 8*n² -12*n + 5 ) (6)
(6) n 1 13 n 4 145/85
2 41/13 5 221/145
3 85/41
produit des termes (6) 13 * 41/13 * 85/41 * 145/85 * 221/145 = 221
b. la série k 1 2 3 4 5
13 41 85 145 221
28 44 60 76
16 16 16
est une équation du deuxième degré : a*k² + b*k + c k=1 a + b + c = 13
2 4*a + 2*b + c = 41
3 9*a + 3*b + c = 85 --> 8*k² + 4*k + 1 = r c. 8*k² + 4*k + 1 = r² k = ( -2 + sqrt( 8*r² - 4 )) / 2
m² - 8*r² = -4 est une équation Pell m² - 8*r² = 1 m = 3 r = 1 p² - 8*q² = -4 p=2 q=1
la formule de Holm donne k r
10 29²
348 985²
11430 33461²
401880 1.116.689²
4. a. 79 = 2^4 + 2^4 + 2^4 + 2^4 + 15*(1^4 ) donc somme de 19 puissances quatrièmes . b. - Liouville a prouvé k =< 53
- Hardy et Littlewoods ont prouvé k=< 21 . G(k) =< ( k - 2 ) * 2^( k - 1 ) + 4 + m ( = 1 pour k = 4 ) - Waring a prouvé k =< 19 . G(k) = 2^k + partie entière ((3/2)^k) - 2 = 19 ( pour k = 4 )
