E332. Le petit-fils donne la clé de la solution
Notonsa < b < cles âges des trois petits-neveux.
Il s’agit alors de résoudre l’équation diophantienneabc−1 =d(a−1) (b−1) (c−1). Même si c’est implicite (division par zéro !), a = 1 impliquerait b = c = 1 : impossible. Ainsia>2.
D’une part, (a−1) (b−1) (c−1)<(a−1)bc=abc−bc < abc−1,d’oùd>2.
D’autre part,d <a−1a b−1b c−1c 62·32· 43 = 4,d’oùd63.Doncd= 2 ou 3.
De plus, sia>4,alorsd <43· 54·65 = 2 : impossible. Donca= 2 ou 3.
Sia=d,alors nous aurionsd= 1 : impossible.
Si (a, d) = (2,3),alors l’équation devient (b−3) (c−3) = 5 et (b, c) = (4,8). De même, si (a, d) = (3,2),alors (b−4) (c−4) = 11 et (b, c) = (5,15).
Le problème est alors parfaitement déterminé si le dernier petit-fils a 2 ans, auquel cas les trois petits-neveux ont 3, 5 et 15 ans.
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