E332. Le petit-fils donne la clé de la solution Solution de Jérôme Pierard
Soit a,b et c, les âges respectifs des trois petits neveux, entiers naturels strictement positifs tels que c>b>a.
Soit k un entier naturel strictement positif tel que :
k*abc = [(a+1)(b+1)(c+1)] –1= abc+ ac + bc + ab + a + b + c c = (ab + a + b) / (k-1)ab – a – b – 1
ab + a+ b > (k-1)ab – a – b – 1 (d'après l'hypothèse de départ selon laquelle c entier naturel strictement positif)
a (2b+1) / (kb-2)
b (2b+1) / (kb-2) (d'après l'hypothèse de départ selon laquelle b>a) 4b + 1 b²
4 b 3 a
a a donc trois valeurs possibles : 1 , 2, ou 3 a = 1 c = (2b + 1) / (k-2)b – 2
b = 2 c = 5 / 2k – 6 5 premier, pas de solution pour k
b= 3 c = 7 / 3k – 8 k = 3 et c = 7 âges respectifs des petits neveux : 2, 4 et 8 b = 4 c = 9 / 4k-10 pas de solution pour k
a = 2 c = (3b + 2) / (2k-3)b – 3
b= 3 c = 11 / 6k – 12 11 premier; pas de solution pour k
b = 4 c = 14 / 8k-15 k = 2 et c= 14 âges respectifs des petits neveux : 3, 5 et 15 a = 3 c = (4b + 3) / (3k-4)b – 4
b = 4 c = 19 / 12k-20 19 premier, pas de solution pour k
Le dernier petit-fils de Diophante a deux ans.
Ces trois petits neveux ont respectivement 3, 5 et 15 ans.
