Soit par exemple A>B>C 3) on compare D à B (poids médian précédemment déterminé)

A705 – Cinq poids à classer Solution

On désigne par A,B,C,D et E les cinq objets

Une solution en 8 pesées se trouve assez rapidement : 1) on compare A et B. Soit par exemple A>B

2) on compare C à A puis C à B, soit deux pesées pour arriver au classement de A,B et C.

Soit par exemple A>B>C

3) on compare D à B (poids médian précédemment déterminé). Deux cas possibles : - si D < B, il suffit de comparer D à C (poids le plus léger précédemment

déterminé) pour classer les 4 objets. Soit par exemple A>B>C>D à l’issue de 5 pesées.

- Si D>B, on compare D à A (objet le plus léger parmi le triplet A,B,C) et à l’issue de cette 5^ème pesée, on peut classer les 4 objets. Soit par exemple D>A>B>C

4) on compare E au 2^ème objet de l’ordonnancement obtenu précédemment (B par exemple dans la séquence A>B>C>D). Si E>B, il suffit de comparer E à A et le classement complet est

réalisé à l’issue de 7 pesées, par exemple E>A>B>C>D. Si E<B, il faut comparer E à C et D, soit deux pesées supplémentaires. On arrive ainsi à 8 pesées au total qui donnent par exemple le classement A>B>C>D>E.

Il y a 5 ! = 120 permutations possibles des cinq objets. Or une pesée permet théoriquement de faire le choix entre deux possibilités, deux pesées le choix entre 2² 4possibilités, trois pesées le choix entre 2³ 8 possibilités et…. 7 pesées le choix entre 2⁷ 128possibilités >

120 permutations.

Le nombre de 7 pesées est donc théoriquement possible . Voici l’un des moyens d’y arriver : 1) on compare A et B. Soit par exemple A<B

2) on compare C et D. Soit par exemple C<D

3) on compare A et C, les deux objets les plus légers précédents. Soit par exemple A<C.

4) on compare E et C, objet le plus lourd de la 3^ème pesée 5) si C est le plus léger, on compare D à E

6) si D est le plus léger, on compare B et D 7) si B est le plus léger, on compare B et C

a. si B est le plus léger, on a à l’issue de la 7^ème pesée la séquence ABCDE

b. si C est le plus léger, on a la séquence ACBDE 7) si D est le plus léger, on compare B et E

a. si B est le plus léger, on a la séquence ACDBE b. si E est le plus léger, on obtient ACDEB 6) si E est le plus léger, on compare B et E

7) si B est le plus léger, on compare B et C

a. si B est le plus léger, on a à l’issue de la 7^ème pesée la séquence ABCED

b. si C est le plus léger, on a la séquence ACBED 7) si E est le plus léger, on compare B et D

a. si B est le plus léger, on a la séquence ACEBD b. si E est le plus léger, on obtient ACEDB

5) si E est le plus léger, on compare A à E

6) si A est le plus léger, on compare B et C 7) si B est le plus léger, on compare B et E

a. si B est le plus léger, on a à l’issue de la 7^ème pesée la séquence ABECD

b. si E est le plus léger, on a la séquence AEBCD 7) si C est le plus léger, on compare B et D

a. si B est le plus léger, on a la séquence AECBD b. si D est le plus léger, on obtient AECDB 6) si E est le plus léger, on compare B et D

7) si B est le plus léger, on compare B et C

a. si B est le plus léger, on a à l’issue de la 7^ème pesée la séquence EABCD

b. si C est le plus léger, on a la séquence EACBD 7) si D est le plus léger, on a la séquence EACDB en 6 pesées.