E332. Le petit-fils donne la clé de la solution
Diophante à Hippolyte : « J'ai trois petits-neveux dont les âges sont des entiers distincts. Le produit de leurs âges calculé il y a un an divise le produit de leurs âges actuels diminué d'une unité. Peux-tu me donner leurs trois âges ? » H : Le problème est indéterminé.
D : Il ne l'est plus si je te dis que le plus jeune d'entre eux est plus âgé que mon dernier petit-fils.
H. Effectivement, je sais maintenant répondre.
Quels sont les âges exprimés sous forme de nombres entiers des trois petits-neveux et du petit-fils de Diophante.
On a donc : ܽ ܾ ܿ − 1 = ݇ሺܽ − 1ሻሺܾ − 1ሻሺܿ − 1ሻ avec 2 ≤ ܽ < ܾ < ܿ
Soit
ܿ = ݂ሺ݇, ܽ, ܾሻ =
ሺିଵሻሺିଵሻିଵሺିଵሻሺିଵሻି
݂ est une fonction décroissante sur les variables k, a et b ௗ
ௗ
݂ሺ݇, ܽ, ܾሻ = −
ሺିଵሻమାሺሺିଵሻሺିଵሻି ሻమ
< 0
ௗ
ௗ
݂ሺ݇, ܽ, ܾሻ = −
ሺିଵሻమାሺሺିଵሻሺିଵሻି ሻమ
< 0
ௗ
ௗ
݂ሺ݇, ܽ, ܾሻ = −
ሺିଵሻሺିଵሻሺିଵሻ ሺሺିଵሻሺିଵሻି ሻమ< 0
k a b c
1 2 3 -1/4 Les valeurs suivantes de c seront négatives donc fin de l’examen de k=1 2 2 3 -3/2 Les valeurs suivantes de c seront négatives donc on n’examine pas les cas b>3
3 4 ¶ Non valide
5 15 Solution
6 19/2=9.5 ∉ ܰ
7 23/3=7.6 <8 valeur minimale de c quand b=7, donc fin du cas a=3 4 5 23/4=5.75 <6 valeur minimale de c quand b=5, donc fin du cas a=4
Fin aussi de l’examen des autres valeurs de a puisque toute valeur de c sera inférieure à 5.75 alors qu’elle doit être supérieure à 6 (a>=4 => b>=5 => c>=6
3 2 3 ¶ Non valide
2 4 8 Solution
5 11/2=5.5 <6 valeur minimale de c quand b=5, donc fin du cas a=2
3 4 17/6=2.88 Fin de l’examen des autres valeurs de a puisque toute valeur de c sera inférieure à 2.88 alors qu’ elle doit être supérieure à 5 (a>=3 => b>=4 => c>=5
4 2 3 7/2=3.5 Fin de l’examen des autres valeurs de k puisque toute valeur de c sera inférieure à 3.5 alors qu’ elle doit être supérieure à 4 (a>=2 => b>=3 => c>=4
On obtient donc les deux seules solutions suivantes :
a b c
(1) 2 4 8
(2) 3 5 15
Si le petit-fils de Diophante a 1 an, le problème est toujours indécidable, par contre, s’il a 2 ans, (1) ne convient pas puisque le plus jeune des neveux n’est pas plus vieux que le petit-fils, il a le même âge.
