Le petit-fils donne la clé de la solution
Problème E332 de Diophante
Diophante à Hippolyte : « J'ai trois petits-neveux dont les âges sont des entiers distincts. Le produit de leurs âges, calculé il y a un an, divise le produit de leurs âges actuels diminué d'une unité. Peux-tu me donner leurs trois âges ? »
H : Le problème est indéterminé.
D : Il ne l'est plus si je te dis que le plus jeune d'entre eux est plus âgé que mon dernier petit-fils.
H. Effectivement, je sais maintenant répondre.
Quels sont les âges exprimés sous forme de nombres entiers des trois petits- neveux et du petit-fils de Diophante.
Source : d'après Olympiades internationales de mathématiques
Solution
Il s’agit de trouver trois entiers a > b > c tels que (a-1)(b-1)(c-1) divise abc – 1.
C’est difficile à la main mais beaucoup moins avec un tableur.
Pour c < 23, on trouve les deux triplets (8, 4, 2) et (15, 5, 3).
Hippolyte répond que les trois petits neveux ont respectivement 15, 5 et 3 ans, en pensant que le petit-fils de Diophante a 2 ans.
