Problème E332 – Solution de Jean Drabbe
Soient a < b < c les âges des trois petits-neveux. Montrons d'abord qu'il existe exactement deux triples (a,b,c) satisfaisant à la condition de divisibilité imposée par l'énoncé.
Montrons que a ≤ 3 . Sinon
abc – 1 a b c 4 . 5 . 6
1 < --- < --- --- --- ≤ --- = 2 (a-1)(b-1)(c-1) (a-1) (b-1) (c-1) 3 . 4 . 5
1er cas : a = 2
Dans ce cas, b ≤ 4 . Sinon
2bc – 1 b c 5 . 6
1 < --- < 2 --- --- ≤ 2 −−−−−− = 3 (b – 1)(c – 1) b – 1 c – 1 4 . 5
ce qui impose 2 (b-1)(c-1) = 2bc – 1 et 2b + 2c = 3 . Trivialement, b et c doivent être pairs.
Une vérification tout aussi élémentaire que celle que nous venons de présenter montre que si a = 2 et b = 4 , alors c ≤ 8 et c ≡ 2 MOD 3 (2,4,5) ne vérifie pas la condition de divisibilité.
Conclusion : Dans ce premier cas, (a,b,c) = (2,4,8) .
2ème cas : a = 3
Dans ce cas, b ≤ 6 (car 3.7.8 / 2.6.7 = 2) . b ne peut évidemment pas être pair.
Il est facile de vérifier que si b = 5 , alors c ≡ 7 MOD 8 et c ≤ 21 . Conclusion : Dans ce deuxième cas, (a,b,c) = (3,5,15).
SOLUTION DU PROBLEME : La dernière déclaration de H. montre que (a,b,c) = (3,5,15) et l'âge du petit-fils de H. est 2 .
