11.5 Montrons que les points A, B, C etD ne sont pas coplanaires :
−−−−→
AB =
25−5 12−13 14−21
=
20
−1
−7
−−−−→
AC =
10−5 21−13
2−21
=
5 8
−19
−−−−→
AD =
10−5 0−13 5−21
=
5
−13
−16
Les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires si le déterminant formé des vecteurs−AB,−−−→ −AC−−−→ et−AD−−−→ est non nul :
20 5 5
−1 8 −13
−7 −19 −16
=−2560 + 95 + 455 + 280−4940−80 =−67506= 0
Par conséquent, les points A, B, Cet D forment un tétraèdre.
Il reste à présent à vérifier que ce tétraèdre est régulier.
k−AB−−−→k=
20
−1
−7
=p
202+ (−1)2+ (−7)2 =√
400 + 1 + 49 =√ 450 =
=√
152·2 = 15√ 2 k−AC−−−→k=
5 8
−19
=p
52+ 82+ (−19)2 =√
25 + 64 + 361 =√
450 = 15√ 2
k−AD−−−→k=
5
−13
−16
=p
52+ (−13)2+ (−16)2 =√
25 + 169 + 256 =√
450 = 15√ 2
k−BC−−−→k=
10−25 21−12 2−14
=
−15
−9
−12
=
−3
5 3 4
=| −3|
5 3 4
=
= 3√
52+ 32+ 42 = 3√
25 + 9 + 16 = 3√
50 = 3√
52·2 = 3·5√
2 = 15√ 2 k−BD−−−→k=
10−25 0−12 5−14
=
−15
−12
−9
=
−3
5 4 3
=| −3|
5 4 3
=
= 3√
52+ 42+ 32 = 3√
25 + 16 + 9 = 3√
50 = 3·5√
2 = 15√ 2 k−CD−−−→k=
10−10 0−21
5−2
=
0
−21 3
= 3
0
−7 1
=|3|
0
−7 1
= 3p
02 + (−7)2+ 12 = 3√
0 + 49 + 1 = 3√
50 = 3·5√
2 = 15√ 2 Puisque les six arêtes du tétraèdre ABCDmesurent15√
2, il est bien régulier.
Géométrie : norme Corrigé 11.5
