On considère les points A  2; 5   , B   1;3 et C    4; 1  .

(1)

2

^nde

Corrigé du devoir commun (sujet A)

Exercice 1

Exercice 2

On considère les points ^A  ^{2; 5} ^  ^, ^B   ^1;3 ^et ^C  ^{ } ^{4; 1}  ^.

1) Figure

2)

^{1 2}

AB3 5 

  

 

et

^{4 2} AC 1 5

  

 

. On obtient

¹

AB 8

 

 

et

⁶ AC 4 

 

 

. 3)  2 AB  3 AC a pour coordonnées

²

 

¹ ³

 

⁶

2 8 3 4

     

 

 

   

 

, c’est-à-dire

¹⁶

4

 

 

 

.

4) a)

²

5 AM x

y

  

  

 

b)

2 3 ² ¹⁶ ¹⁴

5 4 9

x x

AM AB AC

y y

    

 

         

On obtient ^M  ^ ^{14; 9} ^ 

5) Soit ^E  ^{7; 1} ^ 

a) On construit le quadrilatère ACBE.

b) 1 7

EB  3 1  

  

  , c’est-à-dire

⁶ EB 4

 

 

. On a alors EB  AC . On en déduit que ACBE est un parallélogramme.

A

B

C

I J

K L

2 3 4 5 6 7

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

2 3

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

0 1

1

x y

A B

C E

I J

1)

AI 2AB

2) BJ   BC

3)

¹

CK 2CB

4) AL  AB  2 AC

5) AB  BJ  AJ d’après la relation de Chasles

(2)

Exercice 3 Partie A

1) Tableau de variation de f

x -4 -1,375 1 f

2) a) On a

 1 1

. Donc ^f   ^{ } ¹ ^f   ¹ car f est strictement croissante sur  ^ ^1;1  ^.

b) On a    2 3 . Donc ^f   ^{ } ² ^f   ³ car f est strictement décroissante sur  ^{ } ^{3; 2}  ^.

3) a) L’équation ^{f x}   ^ ¹⁰ admet deux solutions car la droite d’équation

y10

coupe la courbe 2 fois.

b) L’équation ^{f x}   ^{ } ¹⁵ n’a pas de solution car la droite d’équation

y 15

ne coupe pas la courbe.

Partie B

La fonction f est définie par ^{f x}   ^ ⁴ ^x

²

^ ¹¹ ^x ^ ³ ^.

1)  ⁴ ^x ^ ¹  ^x ^{ } ³  ⁴ ^x

²

^ ¹² ^x ^{  } ^x ³ ⁴ ^x

²

^ ¹¹ ^x ^{ } ³ ^{f x}   ^.

On a donc ^{f x}    ^ ⁴ ^x ^ ¹  ^x ^ ³  ^.

2) a)  

⁰



⁴ ¹



³



⁰ ⁴ ^{1 0 ou} ³ ⁰ ¹^ou ³

f x   x x   x  x   x 4 x 

3;¹ S   4

 

b)

 

³ ⁴ ² ¹¹ ³ ³ ⁴ ² ¹¹ ⁰



⁴ ¹¹



⁰

0 ou 4 11 0 0 ou 11

4

f x x x x x x x

x x x x

            

       

¹¹; 0 S  4 

 

3) Tableau de signes de ^{f x}  

x



-3 0,25 

4 x  1 – – 0 + 3

x  – 0 + +

 

f x + 0 – 0 +

4) L’ensemble des solutions de l’inéquation ^{f x}   ^ ⁰ ^est ^S ^{ }  ^{3;0, 25}  ^.

Exercice 4

1) Achat de 5 kg de chocolats.

a) La chococcinelle : 16 5 10    90 € Chocowonka : 20 5 100 €  

b) Dans ce cas, la chococcinelle est plus avantageuse car 90 100  . 2) Achat de x kg de chocolats.

a) On ajoute l’achat de x kg de chocolats à 16 € le kg avec les 10 € de frais de livraison.

Donc ^{f x}   ^ ¹⁶ ^x ^ ¹⁰ ^.

f est une fonction affine.

b) Graphique

Pour construire les droites

C_f

et

C_g

, on peut utiliser des tableaux de valeurs.

x 0 5

 

f x 10 90

 

g x 0 100

(3)

3) Algorithme

4) a) ^{f x}   ^ ^{g x}   ^ ¹⁶ ^x ^ ¹⁰ ^ ²⁰ ^x       ⁴ ^x ¹⁰ ^x ^2,5 ^S ^  ^2,5; ^ 

b) La chocolaterie chococcinelle est donc plus avantageuse si on achète plus de 2,5 kg de chocolats.

Exercice 5

1) Arbre siège 1 siège 2 issues

C_f

C_g

2 3 4 5

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11

20 30 40 50 60 70 80 90 100

-10

0 1

10

x y

I

P

V T M

V

P T M

T

P V M

M

P V T

c)

C_f

et

C_g

se coupent au point ^I  ^2,5;50  ^.

C_g

est en dessous de

C_f

sur  ^{0; 2,5 .} 

La chocolaterie Chocowonka est donc plus avantageuse si on achète moins de 2,5 kg de chocolats.

Saisir x

A prend la valeur 16 x  10 B prend la valeur 20x Si

AB

Alors Afficher « la chocolaterie Chococcinelle est plus avantageuse » Sinon Afficher « la chocolaterie Chocowonka est plus avantageuse » Fin Si

(P ; V)

(P ; T)

(P ; M)

(V ; M)

(V ; T)

(V ; M)

(T ; P)

(T ; V)

(T ; M)

(M ; P)

(M ; V)

(M ; T)

(4)

2) ^A ^   ^{P V} ^;   ^; ^{V P} ^;   ^; ^{V T} ^;   ^; ^{V M} ^;   ^; ^{T V} ^;   ^; ^{M V} ^;   ^.

La loi de probabilité sur l’ensemble des 12 cas possibles est équirépartie.

Il y a 6 cas favorables sur les 12 cas possibles. Donc  

⁶ ¹

12 2 P A  

. 3) a) ^C ^   ^{M P} ^;   ^; ^{M T} ^;   ^; ^{M V} ^;   ^.

Il y a 3 cas favorables sur les 12 cas possibles. Donc  

³ ¹

12 4 P C  

. b) C : « Mickaël ne s’installe pas sur le premier siège »

^{P C}

 

^{ }¹ ^{P C}

^{ }

^{  }¹ ¹₄ ³₄

^.

4) a)

AB

: « Violaine est dans le wagon et Thierry s’installe sur le second siège » ^A ^{ } ^B   ^{V T} ^;  

Il y a 1 cas favorables sur les 12 possibles. Donc  

¹

P AB 12

. b)

D A B

.

c)          

¹ ¹ ¹ ²

2 4 12 3 P D P AB P A P B P AB    

.

Exercice 6

1) Puisque 47,5 % des adhérents sont des Séniors, il y a

^{80 47,5} 38 100

 

Séniors.

2) Tableau Il y a

⁸⁰ 10

8 

professionnels.

Juniors Séniors Vétérans Total

Professionnels 3 4 3 10

Amateurs 9 34 27 70

Total 12 38 30 80

3) On interroge un adhérent au hasard. Il y a 80 cas possibles tous équiprobables.

a) Il y a 30 Vétérans. La probabilité qu’il soit Vétéran est

³⁰ 0,375 80 

.

b) Il y a 4 Séniors professionnels. La probabilité qu’il soit Sénior professionnel est

⁴ 0, 02 80 

. c) Il y a 80 30   50 adhérents de moins de 40 ans.

La probabilité qu’il ait moins de 40 ans est

⁵⁰ 0, 625 80 

. d) Il y a 4 3   7 adhérents qui ne sont ni Vétérans ni amateurs.

La probabilité qu’il ne soit ni Vétéran ni amateur est

⁷ 0, 0875 80 

.

4) On interroge un adhérent amateur au hasard. Il y a 70 cas possibles tous équiprobables.

a) Il y a 9 juniors amateurs. La probabilité qu’il soit Junior est

⁹ 0,1286

70 

.

b) Il y a 9 34   43 amateurs de moins ayant au plus 40 ans.

La probabilité qu’il ait au plus 40 ans est

⁴³ 0, 6143

70 

On considère les points A  2; 5   , B   1;3 et C    4; 1  .

2

Corrigé du devoir commun (sujet A)

Exercice 1

Exercice 2

On considère les points A  2; 5   , B   1;3 et C    4; 1  .

1) Figure

2)

et

. On obtient

et

. 3)  2 AB  3 AC a pour coordonnées

 

 

, c’est-à-dire

.

4) a)

b)

On obtient M   14; 9  

5) Soit E  7; 1  

a) On construit le quadrilatère ACBE.

b) 1 7

EB  3 1  

  

  , c’est-à-dire

. On a alors EB  AC . On en déduit que ACBE est un parallélogramme.

1)

2) BJ   BC

3)

4) AL  AB  2 AC

5) AB  BJ  AJ d’après la relation de Chasles

Exercice 3 Partie A

1) Tableau de variation de f

x -4 -1,375 1 f

2) a) On a

. Donc f     1 f   1 car f est strictement croissante sur   1;1  .

b) On a    2 3 . Donc f     2 f   3 car f est strictement décroissante sur    3; 2  .

3) a) L’équation f x    10 admet deux solutions car la droite d’équation

coupe la courbe 2 fois.

b) L’équation f x     15 n’a pas de solution car la droite d’équation

ne coupe pas la courbe.

Partie B

La fonction f est définie par f x    4 x

 11 x  3 .

1)  4 x  1  x   3  4 x

 12 x    x 3 4 x

 11 x   3 f x   .

On a donc f x     4 x  1  x  3  .

2) a)  







b)

 





3) Tableau de signes de f x  

x

-3 0,25 

4 x  1 – – 0 + 3

x  – 0 + +

 

f x + 0 – 0 +

4) L’ensemble des solutions de l’inéquation f x    0 est S    3;0, 25  .

Exercice 4

1) Achat de 5 kg de chocolats.

a) La chococcinelle : 16 5 10    90 € Chocowonka : 20 5 100 €  

b) Dans ce cas, la chococcinelle est plus avantageuse car 90 100  . 2) Achat de x kg de chocolats.

a) On ajoute l’achat de x kg de chocolats à 16 € le kg avec les 10 € de frais de livraison.

Donc f x    16 x  10 .

f est une fonction affine.

b) Graphique

Pour construire les droites

et

, on peut utiliser des tableaux de valeurs.

x 0 5

 

f x 10 90

 

g x 0 100

On considère les points ^A  ^{2; 5} ^  ^, ^B   ^1;3 ^et ^C  ^{ } ^{4; 1}  ^.

On obtient ^M  ^ ^{14; 9} ^ 

5) Soit ^E  ^{7; 1} ^ 

. Donc ^f   ^{ } ¹ ^f   ¹ car f est strictement croissante sur  ^ ^1;1  ^.

b) On a    2 3 . Donc ^f   ^{ } ² ^f   ³ car f est strictement décroissante sur  ^{ } ^{3; 2}  ^.

3) a) L’équation ^{f x}   ^ ¹⁰ admet deux solutions car la droite d’équation

b) L’équation ^{f x}   ^{ } ¹⁵ n’a pas de solution car la droite d’équation

La fonction f est définie par ^{f x}   ^ ⁴ ^x

^ ¹¹ ^x ^ ³ ^.

1)  ⁴ ^x ^ ¹  ^x ^{ } ³  ⁴ ^x

^ ¹² ^x ^{  } ^x ³ ⁴ ^x

^ ¹¹ ^x ^{ } ³ ^{f x}   ^.

On a donc ^{f x}    ^ ⁴ ^x ^ ¹  ^x ^ ³  ^.

3) Tableau de signes de ^{f x}  

4) L’ensemble des solutions de l’inéquation ^{f x}   ^ ⁰ ^est ^S ^{ }  ^{3;0, 25}  ^.

Donc ^{f x}   ^ ¹⁶ ^x ^ ¹⁰ ^.

4) a) ^{f x}   ^ ^{g x}   ^ ¹⁶ ^x ^ ¹⁰ ^ ²⁰ ^x       ⁴ ^x ¹⁰ ^x ^2,5 ^S ^  ^2,5; ^ 

se coupent au point ^I  ^2,5;50  ^.

sur  ^{0; 2,5 .} 

2) ^A ^   ^{P V} ^;   ^; ^{V P} ^;   ^; ^{V T} ^;   ^; ^{V M} ^;   ^; ^{T V} ^;   ^; ^{M V} ^;   ^.

. 3) a) ^C ^   ^{M P} ^;   ^; ^{M T} ^;   ^; ^{M V} ^;   ^.

^{ }

^.

: « Violaine est dans le wagon et Thierry s’installe sur le second siège » ^A ^{ } ^B   ^{V T} ^;  