E642. Casse-tête du Mikado
On trace dans le plan deux sous-ensembles A et B de 2009 points chacun. Tous les points sont distincts entre eux et trois d'entre eux ne sont jamais sur la même droite. J'ai à ma disposition des baguettes de Mikado de toutes les dimensions possibles. Puis-je relier à l'aide de 2009 baguettes les points de A aux points de B de telle sorte que tout point est l'extrémité d'une seule baguette et il n'y aucun chevauchement des baguettes entre elles ?
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Plus généralement, si les points sont numérotés Ai et Bj pour i et j compris entre 1 et n, on peut associer à chacune des n! permutations s des nombres de 1 à n, la somme L(s)=∑AiBs(i) des longueurs des segments obtenus en reliant chaque point A à un point B.
Puisque cet ensemble est fini, il a un élément minimal.
Par ailleurs, dans un quadrilatère convexe, la somme des longueurs des diagonales est supérieure à celle des longueurs de cotés opposés: il en résulte que si AiBs(i) et AjBs(j) se croisent, et si l’on définit la permutation t comme déduite de s en inversant les valeurs pour i et j (soit t(i)=s(j), t(j)=s(i), et t(k)=s(k) pour k≠i ou j ), AiBt(i) et AjBt(j)
ne se croisent pas, et L(t)≤L(s). Il en résulte qu’il n’y a pas de croisement de segments dans la permutation qui correspond à l’élément minimal.
