D1859. Trois amuse-tˆ ete
O1et O2 sont les centres deΓ1et de Γ2.
Lorsque IJ passe par O2, on ne peut avoir PJ = LQ que si J etO2 sont con- fondus. Donc O2 est surΓ1.
Pour le point courant J, la m´ediatrice de PQ passe parO2. I est donc diam´etralement oppos´e `aO2surΓ1.
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Pour un point A donn´e tel que B existe, il existe aussi un 2`eme point B’ avec AB’ = d.
C est le milieu de BB’, M est le milieu de AB, M’ celui de AB’ et D celui de MM’.
D d´ecrit la droite telle que CD = 1/2 CA. Comme on a CM = d/2, le lieu de M est donc bien une ellipse dont les axes sont les bissectrices de D et D’ pour raison de sym´etrie.
On construit l’extr´emit´e P du petit axe et celle G du grand axe avec les segments pp’ et gg’ de longueur d et perpendiculaires aux axes.
Les foyers F et F’ sont les intersections du grand axe et du cercle (P, OG).
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P est l’intersection diff´erente de C des cercles (A’, A’C) et (B’, B’C) tels que AP B\ = 150o et CP A\ = 110o. Pour cel`a, on a A\0BC = 60o et B\0CA= 20o.
Dans le triangle ´equilat´eral A’BC, on construit l’image Q de P par la rotation (C,−60o).
On a donc PQ = PC et QB = PA :PQB est le triangle cherch´e.
PQC est ´equilat´eral, doncBP Q\ = 150o−60o=π/2.
CQB\ =CP A\ = 110o doncP QB\ = 110o−60o= 50o QBP\ = 40o : c’est le plus petit angle de PQB.
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