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D20262. Segments en progression Un rectangle

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Academic year: 2022

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D20262. Segments en progression

Un rectangle ABCD a pour cˆot´e AB le grand axe d’une ellipse E et pour centreO une extr´emit´e du petit axe deE. On prend un pointP surE hors du rectangle. Montrer que les 3 segments d´etermin´es surABpar les droites P C etP D ont des longueurs en progression g´eom´etrique.

Solution

Une transformation par affinit´e ne change pas les proportions entre segments d’une mˆeme droite. On peut donc prouver la propri´et´e en supposant queE est le cercle de diam`etre AB et que ABCDest un carr´e.

P A et P B coupent CD en F et G, P C et P D coupent AB en M et N. L’angleAP B est droit, le triangleAP B est semblable `aF DA etBCG.

AlorsF D/AD=BC/CG, et commeABCDest carr´e,F D/DC =DC/CG.

La divisionAN M B est homoth´etique deF DCG, donc AN/N M =N M/M B, CQFD.

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