Enonc´e noD321 (Diophante)
La boule de cristal du fakir Cipa¸calouvishni
Le fakir Cipa¸calouvishni a des dons de voyance qu’il montre avec une tr`es belle boule (sph´erique) de cristal . Vous disposez d’un compas, d’une grande feuille de papier, d’une r`egle gradu´ee et d’un crayon. Le fakir vous soumet trois ´enigmes :
1`ere ´enigme : Prenez un ´ecartement du compas inf´erieur au rayon estim´e de la boule. Tracez sur la feuille de papier un premier cercle correspondant `a cet
´ecartement puis un deuxi`eme cercle sur la sph`ere avec le mˆeme ´ecartement.
D´esignez la plus grande des deux surfaces : celle du cercle trac´e sur la feuille de papier ou celle de la calotte d´elimit´ee par le cercle trac´e sur la boule.
2`eme ´enigme : Mesurez de la fa¸con la plus pr´ecise possible le rayon de la boule.
3`eme ´enigme : Le fakir trace trois points sur la boule et affirme que le cercle passant par les trois points de contact ainsi que les trois grands cercles pas- sant par chaque paire de points sont tous les quatre magiques. Construisez ces quatre cercles magiques.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Premi`ere ´enigme
Soit R le rayon de la boule et r l’ouverture du compas pour le trac´e des cercles. L’aire sur la feuille de papier estπr2; l’aire de la calotte est, selon une propri´et´e bien connue (qui fait que la projection de Mercator conserve les aires), 2πR fois la hauteur de la calotte.
Une corde de la sph`ere de longueur r est vue du centre de la boule sous un angle x tel que r = 2Rsin(x/2). La hauteur de la calotte est la projection sur l’axe du cercle d’une corde ayant une extr´emit´e au pˆole de la calotte, soitR(1−cosx).
L’aire de la calotte est donc
2πR2(1−cosx) = 4πR2sin2(x/2) =πr2 Les deux aires sont ´egales.
Deuxi`eme ´enigme
Ayant trac´e sur la boule un cercle quelconque avec la pointe fixe du compas en S et une ouverture du compas r, je marque sur ce cercle trois points A, B, C dont je rel`eve les distances avec le compas.
Reportant ces distances sur la feuille de papier, j’y construis un triangle ´egal
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aABC que j’appellerai aussiABC par abus de langage.
SoitO le centre du cercle circonscrit `aABC. Dans la boule, c’est la projec- tion deA, B ouC sur le diam`etre SS0 de la boule (avec S0 diam´etralement opppos´e `a S).AO est la hauteur du triangle rectangleASS0.
Je construis sur la feuille de papier un triangle ´egal `a ASS0 (et, l`a encore, d´esign´e par ASS0). Pour cela, je trace la perpendiculaire en O `a AO, je la
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coupe par le cercle de rayon r = AS et de centre A, ce qui donne S, puis par la perpendiculaire enA `a SA, ce qui donne S0.
Le rayon de la boule est la moiti´e deSS0. Troisi`eme ´enigme
a) C’est maintenant le fakir qui a marqu´e les points A, B, C. Il s’agit de d´eterminer le point S o`u mettre la pointe fixe du compas pour tracer le cercle passant par ces trois points. Comme dans la deuxi`eme ´enigme, je construis sur la feuille de papier un triangle ´egal `a ABC et je d´etermine le rayon ρ de son cercle circonscrit. C’est la hauteur du triangle rectangle ASS0, o`u je connais (ayant r´esolu la deuxi`eme ´enigme) la longueurSS0. Je trace donc sur la feuille la droite SS0, le cercle de diam`etre SS0 (´egal `a tout grand cercle de la boule), et une parall`ele `a SS0 `a la distanceρ coupe ce cercle en un point distant deS d’une longueur r.
Il n’y a plus qu’`a tracer, avec r comme ouverture du compas, trois cercles avec A, B puis C comme points fixes ; ils sont concourants en le point S de la boule, puis avec S comme point fixe et toujours r comme ouverture du compas, on trace le cercle qui passe parA, B etC.
b) Pour tracer un grand cercle sur la boule, il faut une ouverture de compas
´egale au cˆot´e d’un carr´e de diagonaleSS0. On la d´etermine sur la feuille de papier comme suite `a la deuxi`eme ´enigme.
Pour tracer un grand cercle passant parAetB, on d´etermine une extr´emit´e K de son axe sur la boule comme intersection des grands cercles trac´es avec A puis B comme points fixes, puis le grand cercle cherch´e est celui trac´e avec K comme point fixe.
Construction analogue de J pour le grand cercle passant par A etC, et de I pour le grand cercle passant parB etC.
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