Maths PCSI Exercices

Maths PCSI Exercices

Int´egration - 1`ere couche

Exercice 1

Soitf ∈ CP M([a, b]). Montrer : Z b

a f₂

≤(b−a)² Z _b

a f².

Exercice 2

Pour les fonctions continues, quels sont les cas d’´egalit´e dans l’in´egalit´e de la moyenne ? Et pour les fonctions seulement continues par morceaux ?

Exercice 3

Soitf ∈ C_{P M}(R)T-p´eriodique. Montrer que Z _a+T

a f(t)dtne d´epend pas dea∈R.

Exercice 4

En encadrant les sommes par des int´egrales, donner un ´equivalent simple lorsque n→ ∞deu_n=Xⁿ

k=1

1

k etv_n=Xⁿ

k=1

klnk.

Exercice 5

^(*)

D´eterminer toutes les fonctions continues surRv´erifiant :

∀(x, y)∈R², (y−x)f x+y 2

= Z _y

x f.

Exercice 6

^(*)

Pourn, p∈N^∗, on pose :

un,p=1 n

n−1X

k=0

1 + k n

_1/pp . 1. D´eterminer lim

p→∞ lim

n→∞u_n,p . 2. D´eterminer lim

n→∞ lim

p→∞un,p .

Remarque : ne surtout pas g´en´eraliser le r´esultat pr´ec´edent !

Exercice 7

Soitf ∈ CP M(I) eta∈I. Que dire de l’application

F I −→ R

x 7−→

Z _x

a f(t)dt

Exercice 8

D´eterminer l’ensemble desx∈Ren lesquels Z _3x³

x²/6

p1−t⁸dt est d´efinie. On note f(x) ce r´eel pour de telsx. Etudier la continuit´e et la d´erivabilit´e def.

Exercice 9

(*) “Lemme de Riemann-Lebesgue”

Soitf continue par morceaux sur [a, b]. Montrer : Z _b

a f(x) cosnxdx −→

n→∞0.

On pourra commencer par le cas o`uf est constante, puis f en escalier, puis terminer avec un lemme d’approximation vu en cours. N.B. : dans le cas o`u f est C¹, une simple IPP suffit : le v´erifier !

1

Exercice 10

(**)

D´eterminer la limite, lorsqueutend vers 0⁺, def(u) = Z _2u

u

cosx x dx.

On pourra commencer par fixeru et majorer (soigneusement) |cosx−1| lorsqueu≤x≤2u, puis obtenir une majoration de f(u)−

Z _2u

u

dx

xen fonction de u.

Exercice 11

^(**)

1. Montrer que pour toutx∈R, il existe un unique y ∈Rtel que Z _y

x e^t2 = 1. Dans toute la suite, on notey=ϕ(x) le r´eel ainsi associ´e `ax.

2. Montrer queϕest croissante ; d´eterminer ses limites en +∞et−∞.

3. (difficile) Montrer queϕest continue puis d´erivable.

4. Montrer que la graphe deϕadmet un axe de sym´etrie et une asymptote en +∞et −∞.

5. Esquisser le graphe deϕ.

Exercice 12

Calculer les int´egrales suivantes : 1. Quelques fractions rationnelles...

(a) Z ₂

1

dx x(x²+ 5); (b)

Z ₁

−1

dx x²−4; (c)

Z ₁

0

2x+ 3 2x+ 1dx; (d)

Z ₁

0

x²−5x+ 5 x²+ 4 dx; (e)

Z ₁

0

dx x³+ 1; (f)

Z _t

0

x (x+ 1)²dx; 2.

Z ₁

0 x²(2x+ 1)¹⁰dx; 3.

Z ₁

−1x¹⁹(x²+ 1)¹⁸dx; 4.

Z _b

a

sht

1 + chtdto`uaetbsont deux r´eels ; 5.

Z ₁

0 x(arctanx)²dx (int´egrer deux fois par parties) ; 6.

Z _α

π/2

cos²(2x)

sinx o`u 0< α < π(t= cosx) ; 7.

Z ₁

0

1 + chx

1 + sh²xdx(t= e^x apr`es simplification) ; 8.

Z _π/2

0 cos³tdt; 9.

Z _π/2

0 sin⁵tdt; 10.

Z ₁

−1

p1 +|x(1−x)|dx;

11.

Z _π/2

0

cosx

1 + sin³xdx(posery= sinx).

2