A50009. Composition répétitive
SoitA un multiple de 641(232−1).
a/ Montrer queUn= (A+ 1)2n+ 1 est un nombre composé si l’entiernn’est pas multiple de 64.
b/ Déterminer Ade façon que Un soit composé pour toutn.
Solution
a/ Observons la factorisation
232−1 = (216+ 1)(28+ 1)(24 + 1)(22 + 1)(2 + 1). Ainsi 22d+ 1 divise A pour 0≤d≤4. D’autre part, sinn’est pas multiple de 32, n= 2d·iavec i impair, et 22d+ 1 divise 2n+ 1 ; ainsiUn est multiple de 22d+ 1.
Sin= 32iavec iimpair, 641 qui diviseA et 232+ 1 divise 2n+ 1 et Un. b/ Soit B = (232+ 1)/641 = 6700417 et n = 64m; B divise 264−1 donc aussi 2n−1 ;B divisera Un s’il diviseUn+ 2n−1 = (A+ 2)2n.
Prenons doncA=k·641(232−1) =k·641(641B−2) tel queB diviseA+ 2.
L’algorithme du PGCD (Euclide) conduit à l’identité de Bachet 1 = 102B−641·1066213 ; ainsik= 1066213 convient, et A= 1066213·641(232−1) = 2935363327246958235.
