G´en´eration de vagues dans un canal Projet de Calcul Scientifique MA 201

G´en´eration de vagues dans un canal Projet de Calcul Scientifique MA 201

Gr´ egoire Derveaux Gregoire.Derveaux@inria.fr

D´ ecembre 2005

Mod` ele du canal ` a houle

La mod´elisation bidimensionnelle d’un canal `a houle ´equip´e de batteurs `a houle `a ses ext´emit´es conduit, dans l’hypoth`ese d’un ´ecoulement irrotationnnel d’un fluide parfait et en th´eorie lin´earis´ee, aux ´equations suivantes pos´ees en potentiel des vitesses ϕ(x, z, t), x l’axe du canal etz la pro-

fondeur : 

























△ϕ= 0 dans Ω, t >0

∂²ϕ

∂t² +g∂ϕ

∂n = 0 sur ΓS, t >0

∂ϕ

∂n =v sur ΓB, t >0

∂ϕ

∂n = 0 sur ΓF, t >0 ϕ=ϕ0 et ∂ϕ

∂t =ϕ1 sur ΓS, t= 0

(1)

o`u Ω = ]0, L[×]0, h[ repr´esente le domaine fluide, ΓS ={(x, z), z=h}la surface libre lin´earis´ee, ΓB ={(x, z), x= 0 oux=L} les parois ´equip´ees de batteurs `a houle et ΓF ={(x, z), z= 0} le fond du canal. Ici, g d´esigne l’acc´el´eration de la pesanteur, v(y, t) repr´esente la vitesse normale des batteurs. Les fonctionsϕ0etϕ1repr´esentent respectivement le potentiel des vitesses du fluide et la d´eriv´ee en temps de ce potentiel `a l’instant initial.

1

Dans cette mod´elisation, l’´el´evation de surface libre est donn´ee par : η(x, t) =−1

g

∂ϕ

∂t(x, h, t).

Pour un batteur articul´e au fond du bassin, on prendra : v(y, t) =

y vg(t) enx= 0 y vd(t) enx=L

Question 1:Montrer qu’une formulation variationnelle de ce probl`eme est trouverϕ∈C¹(O, T;L²(Ω))∩

C⁰(O, T;H¹(Ω))tel que :





 1 g

d² dt²

Z

ΓS

ϕ ψ dΓ + Z

Ω

∇ϕ.∇ψ dΩ = Z

ΓB

v ψ dΓ ∀ψ∈H¹(Ω) ϕ=ϕ0 et ∂ϕ

∂t =ϕ1 sur ΓS, t= 0

(2)

Discr´ etisation par ´ el´ ements finis

On discr´etise l’op´erateur spatial par ´el´ements finis P1. Soit (Tℓ)_ℓ=1,p l’ensemble des triangles du maillage de sommets (Mi)_i=1,n et de fonctions de base associ´ee (wi)_i=1,n. On introduit l’espace d’approximation :

Vh=vect(wi)_i=1,n

et le probl`eme aproch´e suivant : trouverϕh∈C¹(O, T;Vh) tel que :





 1 g

d² dt²

Z

ΓS

ϕhψ dΓ + Z

Ω

∇ϕh.∇ψ dΩ = Z

ΓB

v ψ dΓ ∀ψ∈Vh

ϕ=ϕ0,het ∂ϕ

∂t =ϕ1,h dans Ω, t= 0

(3)

o`u ϕ0,h (resp. ϕ1,h) d´esigne une approximation de ϕ0 (resp.ϕ1). Si ϕ0 et ϕ1 sont suffisamment r´eguliers on pourra prendre leurs interpol´ees, c’est-`a-dire :

ϕ0,h= X

i=1,n

ϕ0(Mi)wi etϕ1,h= X

i=1,n

ϕ1(Mi)wi.

On supposera par la suite que les sommets situ´es sur ΓS sont num´erot´es en dernier et on notera S l’ensemble de ces num´eros etI l’ensemble des num´eros des sommets qui ne sont pas situ´es sur ΓS.

Question 2: Montrer que le probl`eme (3) est ´equivalent `a la r´esolution du syst`eme diff´erentiel suivant :





 1 g

d²

dt²MX(t) +KX(t) =F(t) ∀t >0 X(0) =X0et d

dtX(0) =X1

(4)

o`u X(t)est le vecteur de Rⁿ de composantes Xi(t) =ϕh(Mi, t).On explicitera les matrices M,K ainsi que les vecteurs F(t),X0 et X1.On notera en particulier que la matrice Mest une matrice de la forme :

M=

0 0 0 M^SS

Question 3: En partitionnant le syst`eme diff´erentiel (4) suivant les ensembles d’indices I et S, montrer qu’il est ´equivalent `a la r´esolution d’un syst`eme diff´erentiel d’ordre m (m=card(S)) de la forme :









 1 g

d²

dt²MSSXS(t) +AXS(t) =BS(t) ∀t XS(0) =X0|S et d

dtXS(0) =X1|S

XI(t) =K⁻¹II (FI−KISXS(t))

(5)

2

avec

A=K^SS−K^SIK⁻¹IIK^IS etBS(t) =FS−K^SIK⁻¹IIFI. o`u on a pos´e :

K=

K^II K^IS K^SI K^SS

, F(t)=

FI(t) FS(t)

etX=

XI(t) XS(t)

.

Donner une interpr´etation de la derni`ere ´equation du syst`eme diff´erentiel (5).

Afin de diminuer le temps de calcul, on va faire du ”mass lumping” (condensation de masse). Il s’agit de transformer la matrice de masse MSS en une matrice diagonale `a l’aide du processus suivant :

Dii= X

j=1,n

(MSS)_ij ∀i= 1, netDij = 0∀i, j= 1, n, i6=j

On montre que ce proc´ed´e ne d´et´eriore pas l’ordre d’approximation des ´el´ements finis. On est donc conduit `a la r´esolution du syst`eme diff´erentiel :





 d²

dt²XS(t) +gD⁻¹AXS(t) =gD⁻¹BS(t) ∀t XS(0) =X_0|S et d

dtXS(0) =X_1|S

(6)

Discr´ etisation en temps

Pour discr´etiser en temps le syst`eme diff´erentiel (6) on utilisera le sch´ema de Newmark. Afin de pr´esenter ce sch´ema, ´ecrivons le syst`eme diff´erentiel (6) sous la forme suivante

Y^′′(t) =G(Y(t) , t), Y(0) =Y0, Y^′(0) =Y1

On introduit (tk)_k=0,K une discr´etisation r´eguli`ere en temps de l’intervalle de temps [0, T] avec t0 = 0, tK = T et △t = T

K. On note Yk l’approximation de Y(tk) donn´ee par l’it´etation de Newmark suivante,∀k= 0, K−2 :

Yk+2−2Yk+1+Yk=△t²

βGk+2+ 1

2−2β+γ

Gk+1+ 1

2 +β−γ

Gk

(7) o`u β, γ sont des constantes r´eelles `a choisir etGk=G(Yk, tk).

Question 4Montrer que le sch´ema est d’ordre 1 si γ6= 1

2 et d’ordre 2 si γ= 1 2.

Question 5 (facultative)Etudier la stabilit´e du sch´ema et montrer en particulier que si β = 0 le sch´ema est stable sous la condition

△t²λM ≤ 4 (γ+1

2)²

(1−ε),∀ε >0

o`u λM d´esigne la plus grande valeur propre de la matrice gD⁻¹A.

Donner une estimation de λM en fonction de h(pas de discr´etisation ´el´ements finis) dans le cas d’un maillage r´egulier du canal.

Question 6: Proposer une m´ethode pour construire une approximation de Y^′(tk).

3

Mise en oeuvre num´ erique

On se placera dans le cas o`u le sch´ema est explicite, i.e β = 0. Compte-tenu du fait que l’on doit r´esoudre un probl`eme transitoire et donc effectuer un tr`es grand nombre de fois l’it´eration de Newmark, on aura tout int´erˆet `a fabriquer une fois pour toute la matrice A en r´esolvant les m syst`emes lin´eaire KIIUj = (KIS)_j puis en effectuant les produits matrice-vecteur KSIUj. On proc´edera de la mˆeme fa¸con pour le second membre en calculant une fois pour toute la matrice KSIK⁻¹II.

Compte-tenu de la forme des donn´ees sur le batteur, il est facile de calculer le vecteurF :

Fi=













 vg(t)

Z h 0

y wi(0, y)dy siMi∈ΓB∩ {x= 0}

vd(t) Z h

0

y wi(L, y)dy siMi∈ΓB∩ {x=L}

0 sinon

En particulier on notera queFS = 0 si on consid`ere que les ”coins” (0, h) et (L, h) ne sont pas des points de ΓS;ce qui simplifie l´eg`erement le calcul du second membre!

Exp´ erimentation num´ erique

On tachera dans un premier temps de valider toutes les ´etapes du code.

On testera, dans un premier temps, l’effet d’un mouvement p´eriodique d’un seul batteur puis la sym´etrie du probl`eme en appliquant le mˆeme mouvement p´eriodique au batteur oppos´e.

Pour une configuration donn´ee, on cherchera `a estimer les vitesses de convergence enhet en△t afin d’observer les vitesses de convergence pr´evue par la th´eorie.

Que se passe-t-il si le fond pr´esente une bosse?

4