Mod´ elisation de l’´ evolution d’une population “ferm´ ee”

M´ ethodes num´ eriques de r´ esolution d’´ equations diff´ erentielles

1 Motivation

1.1 Quelques exemples de probl` emes diff´ erentiels

Mod` ele malthusien de croissance de population

Mod´ elisation de l’´ evolution d’une population “ferm´ ee”

– P (t) : taille de la population ` a l’instant t t – P

⁰

(t) : variations de la taille de la population

– On suppose que les nombres de naissances et de d´ ec` es sont proportionnels ` a la taille de la population, avec un taux de natalit´ e α et un taux de mortalit´ e β.

P

⁰

(t) = αP (t) − βP (t) = (α − β )P (t) – Taille initiale de la population : P (t

0

) = P

0

Solution

P (t) = P

0

exp((α − β)(t − t

0

)).

Mod` ele dit “de croissance logistique”

Ajout d’un terme de comp´ etition entre les individus ( P

⁰

(t) = aP (t) − bP (t)

²

P (0) = P

₀

ß Equation diff´ erentielle non lin´ eaire Calcul de la solution par s´ eparation des variables

P

⁰

(t)

aP (t) − bP (t)

²

= 1 1

aP − bP

²

= 1/a

P + b/a

a − bP = ⇒ P

⁰

aP − bP

²

= 1 a

P

⁰

P + bP

⁰

a − bP

Z P

⁰

P = h

ln |P| i et

Z bP

⁰

a − bP = h

− ln |a − bP | i Solution obtenue

P(t) = aP

0

bP

0

+ (a − bP

0

)e

^−a(t−t0)

Pendule pesant non amorti O

θ(t) l

M

– Pendule de masse m, suspendu en O – Fil (OM ) non pesant et de longueur l.

θ(t) : position par rapport ` a la position d’´ equilibre (angle sign´ e).

Mouvement du pendule gouvern´ e par la

loi fondamentale de la dynamique.

Equation du mouvement :

θ(t) est solution du probl` eme diff´ erentiel :







θ

⁰⁰

(t) = − g

l sin(θ(t))

θ(0) = θ

₀

, θ

⁰

(0) = 0 (par exemple)

ß ´ equation diff´ erentielle d’ordre 2 non lin´ eaire Pendule pesant non amorti : transformation

θ(t) est solution du probl` eme diff´ erentiel :

( θ

⁰⁰

(t) = −ω

²

sin(θ(t))

θ(0) = θ

0

, θ

⁰

(0) = 0 par exemple

Posons : x(t) = θ(t), y(t) = θ

⁰

(t) et Y (t) = x(t) y(t)

! . On a alors

Y

⁰

(t) = x

⁰

(t) y

⁰

(t)

!

= θ

⁰

(t) θ

⁰⁰

(t)

!

= θ

⁰

(t)

−ω

²

sin(θ(t))

!

= y(t)

−ω

²

sin(x(t))

! .

Pendule pesant non amorti : transformation Y (t) = θ(t)

θ

⁰

(t)

!

est solution du probl` eme diff´ erentiel : ( Y

⁰

(t) = F(t, Y (t))

Y (0) = Y

₀

avec

F t, x

y

!

= y

−ω

²

sin(x)

!

et

Y

₀

= θ

₀

0

!

.

1.2 Forme g´ en´ erale d’une ´ equation diff´ erentielle

Equation diff´ erentielle, probl` eme de Cauchy

– On s’int´ eresse aux ´ equations diff´ erentielles du premier ordre de la forme y

⁰

(t) = F (t, y(t))

avec F : I × R

^p

→ R

^p

(I, intervalle de R ) une fonction continue.

– Si p > 1, il s’agit en pratique d’un syst` eme diff´ erentiel.

– Le probl` eme avec condition initiale est appel´ e probl` eme de Cauchy : ( y

⁰

(t) = F (t, y(t))

y(t

0

) = y

0

, t

0

∈ I, y

0

∈ R

^p

, Notion de solution

Probl` eme de Cauchy

( y

⁰

(t) = F (t, y(t))

y(t

₀

) = y

₀

, t

₀

∈ I, y

₀

∈ R

^p

, Solution

Une solution du probl` eme de Cauchy est la donn´ ee d’un intervalle ˜ I et d’une fonction ϕ ∈ C

¹

( ˜ I, R

^p

) tels que

– t

₀

∈ I, ˜ ˜ I ⊂ I,

– ϕ

⁰

(t) = F(t, ϕ(t)) ∀t ∈ I, ˜ – ϕ(t

₀

) = y

₀

.

Remarque

On utilise souvent la mˆ eme notation pour l’inconnue dans l’´ equation y et la solution ϕ, not´ ee y...

1.3 Un r´ esultat th´ eorique fondamental

Le th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz Th´ eor` eme

Consid´ erons le probl` eme de Cauchy : (∗)

( y

⁰

(t) = F (t, y(t))

y(t

0

) = y

0

, t

0

∈ I, y

0

∈ R

^p

, avec F : (t, y) ∈ I × R

^p

→ F (t, y) ∈ R

^p

. Supposons que

– F est continue sur I × R

^p

,

– F est lipschitzienne en y, uniform´ ement en t : il existe L > 0 telle que

∀t ∈ I, ∀y

1

, y

₂

∈ V

_R^p

y

₀

||F (t, y

₁

) − F(t, y

₂

)|| ≤ L ||y

1

− y

₂

||.

Alors, le probl` eme de Cauchy (∗) poss` ede une unique solution. Cette solution est d´ efinie sur un intervalle

contenant t

0

.

Et le calcul effectif de la solution ? – Mod` ele malthusien : OK

´

equa diff lin´ eaire d’ordre 1 ` a coeffs constants – Mod` ele de croissance logistique : OK

´

equa diff d’ordre 1, non lin´ eaire mais ` a variables s´ eparables – Pendule pesant ?

( Y

⁰

(t) = F (t, Y (t))

Y (0) = Y

₀

avec F (t, x

y

!

) = y

−ω

²

sin(x)

! ,

ß Il s’agit d’un syst` eme diff´ erentiel 2 × 2.

ß Le syst` eme est bien d’ordre 1... mais il est non lin´ eaire.

Calcul num´ erique d’une solution approch´ ee

Pas d’expression explicite de la solution

⇓

Calcul num´ erique d’une solution approch´ ee

0 1 2 3 4 5 6

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

temps t

θ(t)

2 Mise au point de m´ ethodes num´ eriques et convergence

2.1 Principe

But

On suppose que le probl` eme de Cauchy

( y

⁰

(t) = F (t, y(t))

y(t

₀

) = y

₀

, t

₀

∈ R , y

₀

∈ R

^p

,

admet une unique solution y d´ efinie sur I = [t

0

, t

0

+ T].

Subdivision de l’intervalle de temps

t

0

t

1

t

n

t

n+1

t

N

= t

0

+ T

∆t

_n

= t

_n+1

− t

_n

, ∆t = max

0≤n≤N

∆t

_n

.

L’objectif est de calculer des valeurs (Y

n

)

0≤n≤N

, qui soient de “bonnes” approximations de (y(t

n

))

0≤n≤N

. Lien avec l’int´ egration num´ erique

Int´ egration de l’´ equation

Z

t_n+1

tn

y

⁰

(t) = F (t, y(t)) y(t

n+1

) − y(t

n

) =

Z

tn+1

tn

F (t, y(t))dt Approximation

– y(t

_n+1

) − y(t

_n

) ß Y

_n+1

− Y

_n

–

Z

t_n+1 t_n

F (t, y(t))dt ß Formule de quadrature :

RAG ≈ (t

n+1

− t

n

)F (t

n

, y(t

n

)) RAD ≈ (t

n+1

− t

n

)F (t

n+1

, y(t

n+1

))

Trap` ezes ≈ (t

_n+1

− t

_n

) F (t

n

, y(t

n

)) + F(t

n+1

, y(t

n+1

)) 2

M´ ethodes num´ eriques correspondantes

M´ ethode d’Euler explicite Þ sch´ ema explicite

Y

_n+1

= Y

_n

+ (t

_n+1

− t

_n

)F (t

_n

, Y

_n

) Y

0

= y

0

M´ ethode d’Euler implicite Þ sch´ ema implicite

Y

n+1

= Y

n

+ (t

n+1

− t

n

)F (t

n+1

, Y

n+1

) Y

0

= y

0

M´ ethode de Crank-Nicolson Þ sch´ ema implicite

(

Y

n+1

= Y

n

+ (t

n+1

− t

n

) F (t

n

, Y

n

) + F(t

n+1

, Y

n+1

) 2

Y

0

= y

0

2.2 Notion de convergence

Introduction des notions d’erreur locale/erreur globale

– y(t) solution exacte de l’´ equation diff´ erentielle, – (Y

n

)

0≤n≤N

valeurs donn´ ees par le sch´ ema num´ erique

Þ y

app

reconstruction d’une solution approch´ ee affine par mx Erreur locale e

n

= y(t

n

) − Y

n

Erreur globale E(∆t) = max

0≤n≤N

|e

_n

| ( ! : N d´ epend de ∆t) D´ efinition de la convergence

La m´ ethode num´ erique est dite convergente si E (∆t) = max

0≤n≤N

|e

n

| −→ 0.

∆t → 0

2.3 Convergence de la m´ ethode d’Euler explicite

Erreur de consistance Probl` eme de Cauchy

y

⁰

(t) = F (t, y(t)) y(t

0

) = y

0

ß solution exacte : y

M´ ethode d’Euler explicite

Y

n+1

= Y

n

+ ∆tF (t

n

, Y

n

) Y

0

= y

0

ß sch´ ema num´ erique : (Y

n

)

D´ efinition

L’erreur de consistance (locale) ` a l’instant n est d´ efinie comme l’erreur commise par la solution exacte dans le sch´ ema num´ erique :

ε

n

= y(t

n+1

) − y(t

n

) − ∆tF (t

n

, y(t

n

)).

Estimation de l’erreur de consistance Probl` eme de Cauchy

y

⁰

(t) = F (t, y(t)) y(t

₀

) = y

₀

M´ ethode d’Euler explicite

Y

_n+1

= Y

_n

+ ∆tF (t

_n

, Y

_n

) Y

₀

= y

₀

ß on suppose que la solution exacte v´ erifie y ∈ C

²

([t

0

, t

0

+ T ]

| {z }

I

, R ) ε

n

= y(t

n+1

) − y(t

n

) − ∆tF (t

n

, y(t

n

)) Mais,

– y(t

n+1

) = y(t

n

) + ∆ty

⁰

(t

n

) + ∆t

²

2 y

⁰⁰

(ξ

n

) – y

⁰

(t

n

) = F (t

n

, y(t

n

))

D’o` u,

ε

_n

= ∆t

²

2 y

⁰⁰

(ξ

_n

).

Majoration de l’erreur de consistance

ε

n

= ∆t

²

2 y

⁰⁰

(ξ

n

).

Majoration

M

2

= sup

[t₀,t₀+T]

|y

⁰⁰

(t)| = ⇒ |ε

n

| ≤ M

2

2 ∆t

²

. Remarque : lien entre y

⁰⁰

and F

y

⁰

(t) = F(t, y(t)), y

⁰⁰

(t) = ∂F

∂t (t, y(t)) + ∂F

∂y (t, y(t))y

⁰

(t)

= ∂F

∂t (t, y(t)) + ∂F

∂y (t, y(t))F (t, y(t)).

Erreur due au sch´ ema num´ erique

– La solution exacte et le sch´ ema num´ erique v´ erifient :

y(t

n+1

) = y(t

n

) + ∆t F (t

n

, y(t

n

)) + ε

n

Y

n+1

= Y

n

+ ∆t F (t

n

, Y

n

) – Alors, comme e

n

= y(t

n

) − Y

n

, on obtient

e

n+1

= e

n

+ ∆t F (t

n

, y(t

n

)) − F (t

n

, Y

n

) + ε

n

.

– Si F est localement lipschitzienne en y uniform´ ement en t (hypoth` ese du thm de Cauchy-Lipschitz),

on a

F (t

_n

, y(t

_n

)) − F (t

_n

, Y

_n

) ≤ L|e

_n

| et

|e

n+1

| ≤ |e

n

|(1 + L∆t) + |ε

n

|.

Deux lemmes interm´ ediaires Lemme 1

Soit (θ

n

)

_n≥0

une suite positive v´ erifiant

∀0 ≤ n ≤ N, θ

n+1

≤ aθ

n

+ α, avec a ≥ 0 et α ≥ 0.

Alors, ∀1 ≤ n ≤ N + 1,

θ

n

≤ a

ⁿ

θ

0

+ α

n−1

X

i=0

a

ⁱ

= a

ⁿ

θ

0

+ α 1 − a

ⁿ

1 − a Lemme 2

De plus, si a = 1 + ρ avec ρ > 0, comme (1 + ρ)

ⁿ

≤ e

^nρ

, on a θ

_n

≤ e

^nρ

θ

₀

+ α

ρ (e

^nρ

− 1), ∀1 ≤ n ≤ N + 1.

Fin de la preuve de convergence – On a, pour tout 0 ≤ n ≤ N − 1

|e

n+1

| ≤ |e

n

|(1 + L∆t) + |ε

n

|,

≤ |e

n

|(1 + L∆t) + M

₂

2 ∆t

²

. – On applique le Lemme 2 avec ρ = L∆t et α = M

₂

2 ∆t

²

:

|e

n

| ≤ e

^nL∆t

|e

0

| + M

2

2L ∆t(e

^nL∆t

− 1), ∀1 ≤ n ≤ N.

– Mais, pour 1 ≤ n ≤ N , n∆t ≤ N∆t = T et

|e

n

| ≤ e

^LT

|e

0

| + M

2

2

e

^LT

− 1

L ∆t, ∀1 ≤ n ≤ N.

– Ainsi, si e

0

= 0, E (∆t) ≤ M

2

2

e

^LT

− 1 L ∆t et

∆t→0

lim E(∆t) = 0.

Convergence du sch´ ema d’Euler explicite Th´ eor` eme

– Soit F ∈ C

¹

(I × R ), t

0

, T tels que [t

0

, t

0

+ T ] ∈ I, y

0

∈ R . – On suppose qu’il existe L > 0 tel que

|F (t, z

1

) − F(t, z

2

)| ≤ L|z

1

− z

2

| ∀t ∈ [t

0

, t

0

+ T ], ∀z

1

, z

2

∈ R .

– y est la solution exacte du probl` eme de Cauchy et (Y

_n

)

_0≤n≤N

la suite obtenue par le sch´ ema d’Euler explicite.

Alors, l’erreur locale d´ efinie par e

_n

= y(t

_n

) − Y

_n

v´ erifie

|e

n

| ≤ e

^LT

|e

0

| + M

2

2

e

^LT

− 1

L ∆t, ∀1 ≤ n ≤ N.

si e

₀

= 0, le sch´ ema est convergent :

∆t→0

lim E(∆t) = 0 (E(∆t) = max

0≤n≤N

|e

n

|).

2.4 Cadre g´ en´ eral des m´ ethodes ` a un pas

D´ efinition

– On limite la pr´ esentation au cas o` u la subdivision (t

_n

)

_0≤n≤N

est r´ eguli` ere : t

n

= t

0

+ n∆t avec ∆t = T

N .

– Une m´ ethode ` a un pas, pour l’approximation du probl` eme de Cauchy sur une subdivision r´ eguli` ere, est de la forme :

( Y

n+1

= Y

n

+ ∆t Φ

F

(t

n

, Y

n

, ∆t), ∀0 ≤ n ≤ N − 1 Y

0

= y

0

(ou une valeur approch´ ee ˜ y

0

de y

0

) avec Φ

_F

: [t

₀

, t

₀

+ T] × R

^p

× [0, k

^∗

] → R

^p

une fonction continue.

– Exemple : Φ

_F

(t, Y, k) = F (t, Y ) ß m´ ethode d’Euler explicite.

Notion de consistance Probl` eme de Cauchy

y

⁰

(t) = F (t, y(t)) y(t

0

) = y

0

ß hyp : y ∈ C

²

M´ ethode ` a un pas

Y

n+1

= Y

n

+ ∆tΦ

F

(t

n

, Y

n

, ∆t) Y

0

= y

0

ß hypoth` ese : Φ

F

∈ C

¹

L’erreur de consistance de la m´ ethode ` a un pas est d´ efinie par

ε

_n

= y(t

_n+1

) − y(t

_n

) − ∆tΦ

_F

(t

_n

, y(t

_n

), ∆t)

La m´ ethode est dite consistante si pour toute solution du probl` eme de Cauchy on a

∆t→0

lim

N

X

n=0

|ε

n

| = 0.

Consistance et ordre

La m´ ethode est dite d’ordre p si, pour toute solution du probl` eme de Cauchy, il existe un r´ eel K ind´ ependant de ∆t tel que

N

X

n=0

|ε

n

| ≤ K ∆t

^p

.

– En pratique, on obtient l’ordre p en montrant :

|ε

n

| ≤ K ∆t

^p+1

∀0 ≤ n ≤ N.

– p ≥ 1 = ⇒ consistance.

Condition n´ ecessaire et suffisante de consistance D´ eveloppement de ε

n

en puissances de ∆t – y(t

n+1

) = y(t

n

) + ∆ty

⁰

(t

n

) + ∆t

²

2 y

⁰⁰

(ξ

n

) – y

⁰

(t

n

) = F (t

n

, y(t

n

))

– Φ

_F

(t

_n

, y(t

_n

), ∆t) = Φ

_F

(t

_n

, y(t

_n

), 0) + ∆t ∂Φ

_F

∂k (t

_n

, y(t

_n

), ζ) ε

n

= ∆t

F (t

n

, y(t

n

)) − Φ

F

(t

n

, y(t

n

), 0) +∆t

²

y

⁰⁰

(ξ

n

) 2 − ∂Φ

F

∂k (t

n

, y(t

n

), ζ)

Th´ eor` eme

Une m´ ethode ` a un pas est consistante si et seulement si

∀(t, z) ∈ [t

0

, t

0

+ T ] × R Φ

F

(t, z, 0) = F (t, z). (∗)

En effet, si (∗) est satisfaite, on a ε

n

= O(∆t

²

).

Erreur due au sch´ ema num´ erique

– La solution exacte et le sch´ ema num´ erique v´ erifient :

y(t

n+1

) = y(t

n

) + ∆t Φ

F

(t

n

, y(t

n

), ∆t) + ε

n

Y

n+1

= Y

n

+ ∆t Φ

F

(t

n

, Y

n

, ∆t) – Alors, comme e

n

= y(t

n

) − Y

n

, on obtient :

e

n+1

= e

n

+ ∆t Φ

F

(t

n

, y(t

n

), ∆t) − Φ

F

(t

n

, Y

n

, ∆t) +ε

n

. – Si on a

Φ

F

(t

n

, y(t

n

), ∆t) − Φ

F

(t

n

, Y

n

, ∆t)

≤ Λ|y(t

n

) − Y

n

|, alors

|e

_n+1

| ≤ |e

_n

|(1 + Λ∆t) + |ε

_n

|.

ß idem sch´ ema d’Euler explicite

Stabilit´ e d’une m´ ethode ` a un pas D´ efinition

S’il existe Λ > 0 tel que ∀t ∈ [t

₀

, t

₀

+ T], ∀z

₁

, z

₂

∈ R , ∀k ∈ [0, k

^∗

],

|Φ

F

(t, z

1

, k) − Φ

F

(t, z

2

, k)| ≤ Λ|z

1

− z

2

| alors la m´ ethode ` a un pas est dite stable.

Par cons´ equent,

– si la m´ ethode ` a un pas est stable, on a

|e

n+1

| ≤ |e

n

|(1 + Λ∆t) + |ε

n

|.

– si elle est ´ egalement consistante, on prouve sa convergence de la mˆ eme fa¸ con que pour le sch´ ema d’Euler explicite.

ß stabilit´ e + consistance = ⇒ convergence Ordre et vitesse de convergence

– La stabilit´ e nous donne :

|e

_n+1

| ≤ |e

_n

|(1 + Λ∆t) + |ε

_n

|.

– Si |ε

n

| ≤ K∆t

^p+1

, on obtient grˆ ace au Lemme 2 :

|e

n

| ≤ e

^ΛT

|e

0

| + K e

^ΛT

− 1

Λ ∆t

^p

∀0 ≤ n ≤ N.

– Si |e

₀

| = 0, on a donc

E(∆t) ≤ C∆t

^p

.

ß la m´ ethode num´ erique est d’autant plus pr´ ecise qu’elle est d’ordre ´ elev´ e.

3 Les m´ ethodes de Runge-Kutta

Premiers exemples

Les m´ ethodes de Runge-Kutta sont des m´ ethodes ` a un pas o` u la fonction F est ´ evalu´ ee plusieurs fois par intervalle de la subdivision. L’objectif est bien sˆ ur de gagner en pr´ ecision (en ordre...).

Avec la m´ ethode des trap` ezes

y(t

n+1

) − y(t

n

) =

Z

t_n+1 t_n

F (t, y(t))dt

≈ ∆t 2

F (t

n

, y(t

n

)) + F (t

n+1

, y(t

n+1

)) M´ ethode de Heun



 

 

 

 

( Y

n,1

= Y

n

Y

_n,2

= Y

_n

+ ∆tF (t

_n

, Y

_n,1

) Y

_n+1

= Y

_n

+ ∆t

2

F (t

_n

, Y

_n,1

) + F (t

_n+1

, Y

_n,2

)

.

Premiers exemples

Avec les rectangles aux points milieux y(t

n+1

) − y(t

n

) =

Z

t_n+1 t_n

F (t, y(t))dt

≈ ∆tF (t

n

+ ∆t

2 , y(t

n

+ ∆t 2 )) M´ ethode d’Euler modifi´ ee



 

 



 

 









Y

n,1

= Y

n

Y

_n,2

= Y

_n

+ ∆t

2 F (t

_n

, Y

_n,1

) Y

n+1

= Y

n

+ ∆tF (t

n

+ ∆t

2 , Y

n,2

).

M´ ethodes de Runge-Kutta explicites Forme g´ en´ erale

t

n

t

n,i

t

n+1



 

 

 

 

 

 

 

 

∀1 ≤ i ≤ s,



 



 



t

n,i

= t

n

+ c

i

∆t, Y

_n,i

= Y

_n

+ ∆t

i−1

X

j=1

a

_ij

F(t

_n,j

, Y

_n,j

),

Y

_n+1

= Y

_n

+ ∆t

s

X

i=1

b

_i

F(t

_n,i

, Y

_n,i

).

Notation avec le tableau de Butcher c

1

0 0 · · · 0 c

2

a

21

0 · · · 0 .. . .. . .. . . . . .. . c

_s

a

_s1

a

_s2

· · · 0 b

1

b

2

· · · b

s

avec

s

X

j=1

b

j

= 1,

s

X

j=1

a

ij

= c

i

, ∀1 ≤ i ≤ s.

Exemples s = 1

Euler explicite 0 0

1 s = 2

Heun

0 0 0

1 1 0

1 2

1 2

Euler modifi´ e

0 0 0

1 2

1

2 0

0 1

Cas g´ en´ eral (α ∈]0, 1])

0 0 0

α α 0

1 − 1 2α

1 2α Le fameux sch´ ema RK4

0 0 0 0 0

1 2

1

2

0 0 0

1

2

0

¹₂

0 0

1 0 0 1 0

1 6

1 3

1 3

1 6

t

n

t

n+1

t

n,1

t

n,4

t

n,2

t

n,3



 

 

 



 

 

 



Y

n,1

= Y

n

Y

_n,2

= Y

_n

+ ∆t

2 F(t

_n,1

, Y

_n,1

) Y

n,3

= Y

n

+ ∆t

2 F(t

n,2

, Y

n,2

) Y

n,4

= Y

n

+ ∆tF (t

n,3

, Y

n,3

) Y

_n+1

= Y

_n

+ ∆t

6

F (t

_n,1

, Y

_n,1

) + 2F (t

_n,2

, Y

_n,2

)+

2F (t

n,3

, Y

n,3

) + F(t

n,4

, Y

n,4

) Comparaison de m´ ethodes classiques

Cas test

y

⁰

= 2y − 4t

y(0) = 2 = ⇒ y(t) = e

^2t

+ 2t + 1.

Vitesse de convergence

E(∆t) = C∆t

^p

. – Euler explicite : p = 1, – Heun : p = 2,

– RK4 : p = 4.