Mod´elisation Programmation lin´eaire

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Mod´elisation

Programmation lin´eaire

Recherche Op´erationnelle et Optimisation Master 1 informatique

S´ebastien Verel verel@lisic.univ-littoral.fr

http://www-lisic.univ-littoral.fr/~verel

Universit´e du Littoral Cˆote d’Opale Laboratoire LISIC Equipe CAMOME

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Mod´elisation AMPL Param`etres

Plan

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Bibliographie

Fran¸cois Lemaire, universit´e Lille 1.

http://portail.fil.univ-lille1.fr/portail/index.

php?dipl=L&sem=S5&ue=ARO&label=Documents Denis Lugiez, Universit´e de Provence, Aix-Marseille I.

http://pageperso.lif.univ-mrs.fr/~denis.lugiez/

Enseignement/Master1/RO/ro.html

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Un probl` eme industriel

Aci´erie

Aci´erie produit bandes et rouleaux m´etalliques pendant 40 heures par semaine au total

Vitesses de production : 200 bandes par heure et 140 rouleaux par heure.

bandes vendues 25 euros l’unité et rouleaux 30 euros l’unité Marché limité : impossible de vendre de 6000 bandes et 4000 rouleaux

Comment maximiser le profit de l’aci´erie ?

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Vers la R´ esolution

Modélisation d’un problème de programmation linéaire

Ecriture dans le langage math´ematique, ”Mise en in´equations et

´equations”

Variables Param`etres Contraintes Objectif(s)

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Exemple de mod´ elisation

d’un probl`eme de programmation lin´eaire

Variables

x1 le nombre de bandes `a produire x₂ le nombre de rouleaux `a produire











25x1+ 30x2 = z [max] x₁ ≥ 0 x₂ ≥ 0 x1 ≤ 6000 x₂ ≤ 4000 1/200x₁+ 1/140x₂ ≤ 40

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Exemple de mod´ elisation

Variables











25x1+ 30x2 = z [max]

x₁ ≥ 0 x₂ ≥ 0 x1 ≤ 6000 x₂ ≤ 4000 1/200x₁+ 1/140x₂ ≤ 40

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Exemple de mod´ elisation

Variables











25x1+ 30x2 = z [max] x₁ ≥ 0 x₂ ≥ 0 x1 ≤ 6000 x₂ ≤ 4000 1/200x₁+ 1/140x₂ ≤ 40

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R´ esolution graphique

Chaque inéquation (linéaire) : demi-plan des solutions réalisables Objectif :

Droite parallèle à ”25x1+ 30x2” dont l’abscisse à l’origine est la plus grande (max)

Plus grande valeur du produit scalaire (projection) 25

30

. x₁

x2

= 25x1+ 30x2











25x1+ 30x2 = z [max] x1 ≥ 0 x₂ ≥ 0 x₁ ≤ 6000 x2 ≤ 4000 1/200x₁+ 1/140x₂ ≤ 40

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AMPL

http://www.ampl.com/

Logiciel con¸cu et r´ealis´e par Fourer, Gay et Kernigham Fonctionnnement :

Interface pour ”programmer” le mod`ele

Calculs délégués à un solveur (minos, cplex,etc.)

Installer en suivant les instructions :

http://portail.fil.univ-lille1.fr/portail/index.php?

dipl=L&sem=S5&ue=ARO&label=Documents

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Resolution AMPL

var x1 >= 0;

var x2 >= 0;

maximize z : 25*x1 + 30*x2;

subject to bandes : x1 <= 6000;

subject to rouleaux : x2 <= 4000;

subject to production : (1/200)*x1 + (1/140)*x2 <= 40;

solve;

MINOS 5.5: optimal solution found. 2 iterations, objective 192000 display z, x1, x2;

z = 192000 x1 = 6000 x2 = 1400

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Resolution AMPL

var x1 >= 0;

var x2 >= 0;

maximize z : 25*x1 + 30*x2;

subject to bandes : x1 <= 6000;

subject to rouleaux : x2 <= 4000;

subject to production : (1/200)*x1 + (1/140)*x2 <= 40;

solve;

MINOS 5.5: optimal solution found.

2 iterations, objective 192000 display z, x1, x2;

z = 192000 x1 = 6000 x2 = 1400

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Param` etres

Les param`etres sont les ”constantes” du probl`eme

Les paramètres permettent de définir une classe de problèmes Lorsque les valeurs des paramètres sont donnés, la résolution numérique peut s’effectuer.

Exemple

Le nombre d’heure ouvr´ees par semaine.

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S´ emantique et syntaxe AMPL

Param`etre num´erique

qui peut ˆetre flottant (ou entier cf. plus loin) param heures ouvrees>= 0 ;

Ensemble

Equivalent au type énuméré set PROD;

Ensemble de param`etres num´eriques param vitesse production { PROD }; Ensemble de variables

param vitesse production { PROD };

cf. tutorialhttp://www.columbia.edu/~dano/courses/4600/

lectures/6/AMPLTutorialV2.pdf

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Exemple

Le mod`ele, fichierex2.mod

# set of products set PROD;

# parameters

param heures_ouvrees >= 0;

param vitesse_production {PROD} >= 0;

param prix_vente {PROD} >= 0;

param vente_max {PROD} >= 0;

# variables

var qte_produite {p in PROD} >= 0, <= vente_max [p];

# objective maximize profit :

sum {p in PROD} qte_produite [p] * prix_vente [p];

# constraints

subject to production_limitee : sum {p in PROD}

(qte_produite [p] / vitesse_production [p]) <= heures_ouvrees;

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Exemple

Les donn´eesex2.dat

set PROD := bandes rouleaux;

param heures_ouvrees := 40;

param: vitesse_production prix_vente vente_max :=

bandes 200 25 6000 rouleaux 140 30 4000;

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Exemple

L’ex´ecutableex2.run

reset;

model ex2.mod;

data ex2.dat;

solve;

display qte_produite.lb, qte_produite, qte_produite.ub;

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Exercice

Ajouter un produit, des poutres tel que : production max de 160 par heure 29 euros par unit´e

3500 unit´es vendues au maximum

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R´ esultats et valeur minimale

Abandon du march´e des rouleaux...

Ajoutons une contrainte pour une vente minimale : param vente min PROD >= 0;

var qte produite p in PROD >= vente min [p], <= vente max [p];

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R´ esolution en nombre entier

Le nombre de poutres n’est pas un entier ! Ajouter le qualificatif int`egre aux variables :

var qte produite p in PROD integer >= vente min [p], <= vente max [p];

R´esolution avec le soldeur cplex : reset;

model ex4.mod;

data ex4.dat;

option solver cplex;

solve; display qte produite.lb, qte produite, qte produite.ub;

Au passage notez que la r´esolution en entier n’est pas le ”cut”

des nombres r´eels !...

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Exercice : Planification sur plusieurs semaines

Planifier la production sur 3 semaines set SEMS := 1 .. N;

var qte produite {SEMS, PROD } >= 0;

... qte produite[s, p] ...

Stock possible, mais limit´e.

var qte stock {1 .. N+1, PROD } >= 0;

Stock initial et final nul.