Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Modélisation

(1)

Zolt´an Szigeti

Ensimag, G-SCOP

Z. Szigeti (Ensimag, G-SCOP) RO 1A 1 / 26

(2)

carburant taux unit´es prix d’achat brut d’octane disponibles /unit´e

1 68 4000 1,02

2 86 5050 1,15

3 91 7100 1,35

4 99 4300 2,75

carburant taux min demande prix de vente

mélangé d’octane /unité

1 95 ≤10000 7,15

2 90 sans restr. 6,95

3 85 ≥15000 4,99

La vente directe du carburant brut est possible à un prix de2,95si le taux d’octane dépasse90et1,85par unité s’il est inférieur. Il faut maximiser le profit total.

(3)

Solution

(4)

Variables :

(5)

Solution

1 Variables : x_ij : unités de carburant brut numéro i dans le carburant mélangé numéro j.

(6)

Variables : x_ij : unités de carburant brut numéro i dans le carburant mélangé numéro j.

2 Contraintes de disponibilit´e :

(7)

Solution

2 Contraintes de disponibilit´e : On veut utiliser

(8)

1 x11+x12+x13 unit´es de carburant brut num´ero 1 mais il y en a4000,

(9)

Solution

1 x11+x12+x13 unit´es de carburant brut num´ero 1 mais il y en a 4000,

2 x₂₁+x₂₂+x₂₃ unit´es de carburant brut num´ero 2 mais il y en a5050,

(10)

2 x₂₁+x₂₂+x₂₃ unit´es de carburant brut num´ero 2 mais il y en a 5050,

3 x₃₁+x₃₂+x₃₃ unit´es de carburant brut num´ero 3 mais il y en a7100,

(11)

Solution

3 x₃₁+x₃₂+x₃₃ unit´es de carburant brut num´ero 3 mais il y en a 7100,

4 x₄₁+x₄₂+x₄₃ unit´es de carburant brut num´ero 4 mais il y en a4300,

(12)

4 x₄₁+x₄₂+x₄₃ unit´es de carburant brut num´ero 4 mais il y en a 4300,

3 Contraintes de demandes :

(13)

Solution

3 Contraintes de demandes : On aura

(14)

1 x11+x21+x31+x41 unités de carburant mélangé numéro 1 mais il en faut au plus10000,

(15)

Solution

1 x11+x21+x31+x41 unités de carburant mélangé numéro 1 mais il en faut au plus 10000,

2 x₁₃+x₂₃+x₃₃+x₄₃ unités de carburant mélangé numéro 3 mais il en faut au moins15000,

(16)

Solution

(17)

Solution

1 Contraintes d’octane :

(18)

Solution

1 Contraintes d’octane : Le taux d’octane de carburant m´elang´e

(19)

Solution

1 num´ero 1 : ^0.68^·^x¹¹^+0.86_x ^·^x²¹^+0.91^·^x³¹^+0.99^·^x⁴¹

11+x21+x31+x41 doit ˆetre au moins 0.95,

(20)

Solution

1 num´ero 1 : ^0.68^·^x¹¹^+0.86_x ^·^x²¹^+0.91^·^x³¹^+0.99^·^x⁴¹

2 num´ero 2 : ^0.68^·^x¹²^+0.86_x₁₂_+x^·^x₂₂²²^+0.91_+x₃₂_+x^·^x₄₂³²^+0.99^·^x⁴² doit ˆetre au moins 0.90,

(21)

Solution

1 num´ero 1 : ^0.68^·^x¹¹^+0.86_x ^·^x²¹^+0.91^·^x³¹^+0.99^·^x⁴¹

3 num´ero 3 : ⁰^.⁶⁸^·^x¹³⁺⁰_x^.₁₃⁸⁶_+x^·^x₂₃²³⁺⁰_+x^.₃₃⁹¹_+x^·^x₄₃³³⁺⁰^.⁹⁹^·^x⁴³ doit ˆetre au moins 0.85,

(22)

Solution

1 num´ero 1 : ^0.68^·^x¹¹^+0.86_x ^·^x²¹^+0.91^·^x³¹^+0.99^·^x⁴¹

2 Contraintes de non-n´egativit´e :

(23)

Solution

1 num´ero 1 : ^0.68^·^x¹¹^+0.86_x ^·^x²¹^+0.91^·^x³¹^+0.99^·^x⁴¹

2 Contraintes de non-n´egativit´e : x_ij ≥0.

(24)

Solution

1 num´ero 1 : ^0.68^·^x¹¹^+0.86_x ^·^x²¹^+0.91^·^x³¹^+0.99^·^x⁴¹

3 Fonction Objectif :

(25)

Solution

1 num´ero 1 : ^0.68^·^x¹¹^+0.86_x ^·^x²¹^+0.91^·^x³¹^+0.99^·^x⁴¹

3 Fonction Objectif : maximiser le bénéfice - la dépense :

(26)

1 la d´epense

(27)

Fonction Objectif : maximiser le bénéfice - la dépense :

1 la d´epense = 1.02·4000 + 1.15·5050 + 1.35·7100 + 2.75·4300

(28)

1 la dépense = 1.02·4000 + 1.15·5050 + 1.35·7100 + 2.75·4300 on achète toutes les unités disponibles des carburants bruts car le prix de vente est plus que le prix d’achat.

(29)

2 le bénéfice sur la vente de carburant mélangé

(30)

1 num´ero1 est =7.15·(x11+x₂₁+x₃₁+x₄₁),

(31)

1 num´ero 1 est = 7.15·(x11+x₂₁+x₃₁+x₄₁),

2 num´ero2 est =6.95·(x12+x22+x32+x42),

(32)

1 num´ero 1 est = 7.15·(x11+x₂₁+x₃₁+x₄₁),

2 num´ero 2 est = 6.95·(x12+x22+x32+x42),

3 num´ero3 est =4.99·(x13+x23+x33+x43),

(33)

1 num´ero 1 est = 7.15·(x11+x₂₁+x₃₁+x₄₁),

2 num´ero 2 est = 6.95·(x12+x22+x32+x42),

3 num´ero 3 est = 4.99·(x13+x23+x33+x43),

3 le b´en´efice sur la vente de carburant brut

(34)

1 num´ero 1 est = 7.15·(x11+x₂₁+x₃₁+x₄₁),

2 num´ero 2 est = 6.95·(x12+x22+x32+x42),

3 num´ero 3 est = 4.99·(x13+x23+x33+x43),

1 num´ero1 est =1.85·(4000−(x11+x₁₂+x₁₃)),

(35)

1 num´ero 1 est = 7.15·(x11+x₂₁+x₃₁+x₄₁),

2 num´ero 2 est = 6.95·(x12+x22+x32+x42),

3 num´ero 3 est = 4.99·(x13+x23+x33+x43),

1 num´ero 1 est = 1.85·(4000−(x11+x₁₂+x₁₃)),

2 num´ero2 est =1.85·(5050−(x21+x₂₂+x₂₃)),

(36)

1 num´ero 1 est = 7.15·(x11+x₂₁+x₃₁+x₄₁),

2 num´ero 2 est = 6.95·(x12+x22+x32+x42),

3 num´ero 3 est = 4.99·(x13+x23+x33+x43),

1 num´ero 1 est = 1.85·(4000−(x11+x₁₂+x₁₃)),

2 num´ero 2 est = 1.85·(5050−(x21+x₂₂+x₂₃)),

3 num´ero3 est =2.95·(7100−(x31+x₃₂+x₃₃)),

(37)

1 num´ero 1 est = 7.15·(x11+x₂₁+x₃₁+x₄₁),

2 num´ero 2 est = 6.95·(x12+x22+x32+x42),

3 num´ero 3 est = 4.99·(x13+x23+x33+x43),

1 num´ero 1 est = 1.85·(4000−(x11+x₁₂+x₁₃)),

2 num´ero 2 est = 1.85·(5050−(x21+x₂₂+x₂₃)),

3 num´ero 3 est = 2.95·(7100−(x31+x₃₂+x₃₃)),

4 num´ero4 est =2.95·(4300−(x41+x42+x43)),

(38)

(39)

x₁₁+x₁₂+x₁₃ ≤ 4000 x21+x22+x23 ≤ 5050 x₃₁+x₃₂+x₃₃ ≤ 7100 x41+x42+x43 ≤ 4300 x₁₁+x₂₁+x₃₁+x₄₁ ≤ 10000 x13+x23+x33+x43 ≥ 15000

−27x11−9x21−4x31+ 4x41 ≥ 0

−22x12−4x22+ 1x32+ 9x42 ≥ 0

−17x13+ 1x23+ 6x33+ 14x43 ≥ 0 xij ≥ 0 5.30x11+ 5.10x12+ 3.14x13+ 5.30x21+ 5.10x22+ 3.14x23+

4.20x31+ 4.00x32+ 2.04x33+ 4.20x41+ 4.00x42+ 2.04x43 = z(max)

(40)

11 4 6 10 12 11 Toutes les demandes doivent absolument ˆetre satisfaites.

Il y a un coût associé à la variation de production d’une période sur l’autre, composé principalement

1 des coˆuts d’embauche (6000epar ´equipe qui construit un voilier) et

2 des coûts de licenciement (4000epar équipe licenciée).

On emploie seulement les équipes nécessaires pour la production, c’est-à-dire on embauche pour augmenter la cadence et on licencie les

´equipes en trop si la cadence diminue.

Tout voilier en stock `a la fin d’un trimestre coˆute 9000een frais de magasinage et en immobilisation.

Avant printemps aucun voilier n’est stocké et la cadence de production est de 11voiliers. On demande que ces deux niveaux soient retrouvés à la fin de l’hiver.

(41)

(a) Calculer le coˆut de la politique qui consiste `a produire chaque

trimestre exactement la demande et donc de ne jamais stocker. Vous paraˆıt-elle optimale? Argumentez.

(b) Ecrire un programme lin´eaire qui nous permet de trouver le plan de production qui minimise le coˆut total.

(42)

(43)

p´eriode

(44)

printemps

´et´e automne

hiver fin d’hiver

(45)

p´eriode licenciement printemps

´et´e automne

hiver fin d’hiver

(46)

printemps

´et´e automne

hiver fin d’hiver

(47)

p´eriode licenciement embauche stock printemps

´et´e automne

hiver fin d’hiver

(48)

printemps

´et´e automne

hiver fin d’hiver

(49)

p´eriode licenciement embauche stock coˆut printemps

´et´e automne

hiver fin d’hiver coˆut total

(50)

printemps 11−4 = 7

´et´e automne

(51)

p´eriode licenciement embauche stock coˆut

printemps 11−4 = 7 7·4000 = 28000e

´et´e automne

(52)

printemps 11−4 = 7 7·4000 = 28000e

´et´e 6−4 = 2

automne hiver fin d’hiver coˆut total

(53)

printemps 11−4 = 7 7·4000 = 28000e

´et´e 6−4 = 2 2·6000 = 12000e

automne hiver fin d’hiver coˆut total

(54)

printemps 11−4 = 7 7·4000 = 28000e

´et´e 6−4 = 2 2·6000 = 12000e

automne 10−6 = 4

(55)

printemps 11−4 = 7 7·4000 = 28000e

´et´e 6−4 = 2 2·6000 = 12000e

automne 10−6 = 4 4·6000 = 24000e

(56)

printemps 11−4 = 7 7·4000 = 28000e

´et´e 6−4 = 2 2·6000 = 12000e

automne 10−6 = 4 4·6000 = 24000e

hiver 12−10 = 2

fin d’hiver coˆut total

(57)

printemps 11−4 = 7 7·4000 = 28000e

´et´e 6−4 = 2 2·6000 = 12000e

automne 10−6 = 4 4·6000 = 24000e

hiver 12−10 = 2 2·6000 = 12000e

fin d’hiver coˆut total

(58)

printemps 11−4 = 7 7·4000 = 28000e

´et´e 6−4 = 2 2·6000 = 12000e

automne 10−6 = 4 4·6000 = 24000e

hiver 12−10 = 2 2·6000 = 12000e

fin d’hiver 12−11 = 1 coˆut total

(59)

printemps 11−4 = 7 7·4000 = 28000e

´et´e 6−4 = 2 2·6000 = 12000e

automne 10−6 = 4 4·6000 = 24000e

hiver 12−10 = 2 2·6000 = 12000e

fin d’hiver 12−11 = 1 1·4000 = 4000e

coˆut total

(60)

printemps 11−4 = 7 7·4000 = 28000e

´et´e 6−4 = 2 2·6000 = 12000e

automne 10−6 = 4 4·6000 = 24000e

hiver 12−10 = 2 2·6000 = 12000e

fin d’hiver 12−11 = 1 1·4000 = 4000e

coˆut total 80000e

(61)

printemps 11−4 = 7 7·4000 = 28000e

´et´e 6−4 = 2 2·6000 = 12000e

automne 10−6 = 4 4·6000 = 24000e

hiver 12−10 = 2 2·6000 = 12000e

fin d’hiver 12−11 = 1 1·4000 = 4000e

coˆut total 80000e

Meilleure solution

Si on licencie 1 ´equipe de moins (−4000e) alors on doit stocker un voilier (+9000e) et

on doit embaucher 1 ´equipe de moins (−6000e).

(62)

Meilleure solution

printemps 11−5 = 6 1 6·4000 + 1·9000e

= 33000e

´et´e 0e

automne 10−5 = 5 5·6000 = 30000e

hiver 12−10 = 2 2·6000 = 12000e

fin d’hiver 12−11 = 1 1·4000 = 4000e

coˆut total 79000e

(63)

Solution (b)

1 On a 5 p´eriodes :

(64)

1 d´ebut de printemps,

(65)

Solution (b)

2 début d’été,

(66)

3 d´ebut d’automne,

(67)

Solution (b)

4 d´ebut d’hiver,

(68)

5 fin d’hiver.

(69)

Solution (b)

5 fin d’hiver.

2 Variables :

(70)

5 fin d’hiver.

2 Variables : pour tout 1≤i ≤5

(71)

Solution (b)

5 fin d’hiver.

1 ci : cadence,

(72)

5 fin d’hiver.

1 ci : cadence,

2 ei : embauche,

(73)

Solution (b)

5 fin d’hiver.

1 ci : cadence,

2 ei : embauche,

3 li : licenciement,

(74)

5 fin d’hiver.

1 ci : cadence,

2 ei : embauche,

4 si : stockage,

(75)

Solution (b)

5 fin d’hiver.

1 ci : cadence,

2 ei : embauche,

4 si : stockage,

3 Contraintes de non-n´egativit´e :

(76)

5 fin d’hiver.

1 ci : cadence,

2 ei : embauche,

4 si : stockage,

3 Contraintes de non-n´egativit´e : c_i,e_i,l_i,s_i ≥0.

(77)

Contraintes de conservation du flux de production :

(78)

(79)

Contraintes de conservation du flux de production : disponible + fabriqu´e - reste `a stocker = besoin

1 On aura 0 +c₁−s₂ unit´es de voilier mais il en faut4,

(80)

1 On aura 0 +c₁−s₂ unit´es de voilier mais il en faut 4,

2 On auras₂+c₂−s₃unit´es de voilier mais il en faut6,

(81)

2 On auras₂+c₂−s₃unit´es de voilier mais il en faut 6,

3 On auras₃+c₃−s₄unit´es de voilier mais il en faut10,

(82)

3 On auras₃+c₃−s₄unit´es de voilier mais il en faut 10,

4 On auras₄+c₄−0 unit´es de voilier mais il en faut12,

(83)

4 On auras₄+c₄−0 unit´es de voilier mais il en faut 12,

2 Contraintes de fluctuation de la main-d’oeuvre :

(84)

2 Contraintes de fluctuation de la main-d’oeuvre : disponible + embauch´e - licenci´e = cadence

(85)

2 Contraintes de fluctuation de la main-d’oeuvre : disponible + embauch´e - licenci´e = cadence

1 On aura11 +e1−l1de cadence mais il en fautc1,