M1 – Math´ematiques 2013–2014 Statistique
Mod` ele lin` eaire
S´ eance du 17 Avril 2014
1 Cuatro Cuaranta
Soitn1etn2deux entiers strictement positifs fix´es etn= 2p >2 max(n1, n2). On consid`ere pourj= 1. . . n, le mod`ele de r´egression p´eriodique :
Yj =a0+a1cos(2πn1
j
n) +a2cos(2πn2
j
n) +b1sin(2πn1
j
n) +b2sin(2πn2
j n) +εj. a) Montrer ou admettre pouri, i0 = 1,2, les relations suivantes :
n
X
j=1
cos(2πni
j
n) cos(2πni0
j
n) = 0 si i6=i0
= p sii=i0
n
X
j=1
sin(2πni
j
n) sin(2πni0
j
n) = 0 sii6=i0
= p sii=i0
n
X
j=1
cos(2πnij n) =
n
X
j=1
sin(2πnij n) =
n
X
j=1
cos(2πnij
n) sin(2πni0j n) = 0.
b) Montrer que les estimateurs (du maximum de vraisemblance) des param`etres sont :
ba0 = 1 n
n
X
j=1
Yj
bai = 1 p
n
X
j=1
Yjcos(2πni
j
n), i= 1,2
bbi = 1 p
n
X
j=1
Yjsin(2πni
j
n), i= 1,2
S2 = 1
2p−5
n
X
j=1
Yj−
ba0+ba1cos(2πn1
j
n) +ba2cos(2πn2
j
n) +bb1sin(2πn1
j
n) +bb2sin(2πn2
j n)
2
c) Construire le test d’hypth`ese dea1=a2=b1=b2= 0, puis celui dea1=b1= 0.
d) Application num´erique pour le second test de la question pr´ec´edente. Cas de la note LA, n2 = 440 n = 1000. Tester si la note est un LA pur (c’est-`a-dire a1 = b1 = 0) avec S2
obs = 1,5 , baobs
1 = 0,52, bbobs
1 = 0,98
2 R´ egression polynˆ omiale
Soient pet n deux entiers tels que 0≤p < n. Pour tout 1 ≤j ≤ non pose xj =j−n+12 . On consid`ere ψ0, ψ1, . . . , ψppolynˆomes fix´es tels que :
• degr´e(ψi) =i, ∀0≤i≤p
• Pn
j=1ψi(xj)ψk(xj) = 0, ∀0≤i6=k≤p On a en vue d’´etudier le mod`ele de r´egression
Yj=
p
X
i=0
λiψi(xj) +εj, 1≤j≤n
o`uε1, . . . , εn sont ind´ependantes et de mˆeme loiN(0, σ2) et λ0, . . . , λp, σ2sont des param`etres inconnus.
a) Estimer les param`etres de ce mod`ele.
b) Ecrire un test de niveauαde “λp= 0” contre “λp6= 0”.
Le revenu net par action de la compagnie Gillette pour les ann´ees 57 `a 64 est le suivant : Ann´ee (zj) : 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 Revenu en $ (Yj(ω)) : 0,93 0,99 1,11 1,33 1,52 1,60 1,47 1,33 On posexj =zj−1960,5 puis ψ0(x) = 1, ψ1(x) = 2xetψ2(x) =x2−21/4.
c) V´erifier bri`evement que le choix ci-dessus dexj, ψ0, ψ1, ψ2rentre dans le cadre d´ecrit plus haut.
d) En supposant queYj =P2
i=0λiψi(xj) +εj, 1≤j≤8 avecε1, . . . , ε8 ind´ependantes et de mˆeme loi N(0, σ2),estimer λ0, λ1, λ2 et σ2.Tester si λ2= 0.
e) Faire une pr´evision pour le revenu net par action en 1965.
N.B. Pour faciliter les calculs, on indique les valeurs num´eriques suivantes : P
jψ21(xj) =P
jψ22(xj) = 168 P
jYj2(ω) = 13,65 P
jψ0(xj)Yj(ω) = 10,28 P
jψ1(xj)Yj(ω) = 6,86 P
jψ2(xj)Yj(ω) =−4,1.
3 Mod` ele lin´ eaire et test d’hypoth` eses non lin´ eaires
Soit εij, i= 1, . . . , k j = 1. . . n, des variables i.i.d., de loi normale centr´ee r´eduite. Soit m1, . . . , mk ∈R, on pose Yij =mi+εij i= 1, . . . , k j= 1. . . n.
a) Quels sont les estimateurs du maximum de vraisemblancembi demi (i= 1, . . . , k) ?
b) On se propose maintenant de construire une statistique de test pour les hypoth`eses non lin´eaires :
H0 k
X
i=1
m2i = 1 H1 k
X
i=1
m2i 6= 1.
Pour cela, on se propose d’utiliser la statistique de test
Tn=√ n
k
X
i=1
mb2i −1
! .
Montrer queTn peut s’´ecrire sous la forme suivante
Tn= 1
√n
k
X
i=1
(ξni)2+ 2
k
X
i=1
(ξin)mi+√ n(
k
X
i=1
m2i −1),
o (ξin)i=1...k sont i.i.d. de loiN(0,1).
c) On suppose que H0 est v´erifi´ee. Montrer que √1nPk
i=1(ξni)2 converge en probabilit´e vers 0. En d´eduire queTn converge en loi. Pr´eciser la loi limite.
d) On suppose que H1 est v´erifi´ee. En utilisant la question pr´ec´edente, montrer que presque sˆurement limn→∞|Tn|= +∞.
e) D´eduire des questions pr´ec´edentes une proc´edure de test pour d´ecider entreH0 etH1.