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Mod` ele lin` eaire

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

M1 – Math´ematiques 2013–2014 Statistique

Mod` ele lin` eaire

S´ eance du 17 Avril 2014

1 Cuatro Cuaranta

Soitn1etn2deux entiers strictement positifs fix´es etn= 2p >2 max(n1, n2). On consid`ere pourj= 1. . . n, le mod`ele de r´egression p´eriodique :

Yj =a0+a1cos(2πn1

j

n) +a2cos(2πn2

j

n) +b1sin(2πn1

j

n) +b2sin(2πn2

j n) +εj. a) Montrer ou admettre pouri, i0 = 1,2, les relations suivantes :

n

X

j=1

cos(2πni

j

n) cos(2πni0

j

n) = 0 si i6=i0

= p sii=i0

n

X

j=1

sin(2πni

j

n) sin(2πni0

j

n) = 0 sii6=i0

= p sii=i0

n

X

j=1

cos(2πnij n) =

n

X

j=1

sin(2πnij n) =

n

X

j=1

cos(2πnij

n) sin(2πni0j n) = 0.

b) Montrer que les estimateurs (du maximum de vraisemblance) des param`etres sont :

ba0 = 1 n

n

X

j=1

Yj

bai = 1 p

n

X

j=1

Yjcos(2πni

j

n), i= 1,2

bbi = 1 p

n

X

j=1

Yjsin(2πni

j

n), i= 1,2

S2 = 1

2p−5

n

X

j=1

Yj

ba0+ba1cos(2πn1

j

n) +ba2cos(2πn2

j

n) +bb1sin(2πn1

j

n) +bb2sin(2πn2

j n)

2

c) Construire le test d’hypth`ese dea1=a2=b1=b2= 0, puis celui dea1=b1= 0.

d) Application num´erique pour le second test de la question pr´ec´edente. Cas de la note LA, n2 = 440 n = 1000. Tester si la note est un LA pur (c’est-`a-dire a1 = b1 = 0) avec S2

obs = 1,5 , baobs

1 = 0,52, bbobs

1 = 0,98

2 R´ egression polynˆ omiale

Soient pet n deux entiers tels que 0≤p < n. Pour tout 1 ≤j ≤ non pose xj =j−n+12 . On consid`ere ψ0, ψ1, . . . , ψppolynˆomes fix´es tels que :

• degr´e(ψi) =i, ∀0≤i≤p

• Pn

j=1ψi(xjk(xj) = 0, ∀0≤i6=k≤p On a en vue d’´etudier le mod`ele de r´egression

Yj=

p

X

i=0

λiψi(xj) +εj, 1≤j≤n

(2)

o`uε1, . . . , εn sont ind´ependantes et de mˆeme loiN(0, σ2) et λ0, . . . , λp, σ2sont des param`etres inconnus.

a) Estimer les param`etres de ce mod`ele.

b) Ecrire un test de niveauαde “λp= 0” contre “λp6= 0”.

Le revenu net par action de la compagnie Gillette pour les ann´ees 57 `a 64 est le suivant : Ann´ee (zj) : 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 Revenu en $ (Yj(ω)) : 0,93 0,99 1,11 1,33 1,52 1,60 1,47 1,33 On posexj =zj−1960,5 puis ψ0(x) = 1, ψ1(x) = 2xetψ2(x) =x2−21/4.

c) V´erifier bri`evement que le choix ci-dessus dexj, ψ0, ψ1, ψ2rentre dans le cadre d´ecrit plus haut.

d) En supposant queYj =P2

i=0λiψi(xj) +εj, 1≤j≤8 avecε1, . . . , ε8 ind´ependantes et de mˆeme loi N(0, σ2),estimer λ0, λ1, λ2 et σ2.Tester si λ2= 0.

e) Faire une pr´evision pour le revenu net par action en 1965.

N.B. Pour faciliter les calculs, on indique les valeurs num´eriques suivantes : P

jψ21(xj) =P

jψ22(xj) = 168 P

jYj2(ω) = 13,65 P

jψ0(xj)Yj(ω) = 10,28 P

jψ1(xj)Yj(ω) = 6,86 P

jψ2(xj)Yj(ω) =−4,1.

3 Mod` ele lin´ eaire et test d’hypoth` eses non lin´ eaires

Soit εij, i= 1, . . . , k j = 1. . . n, des variables i.i.d., de loi normale centr´ee r´eduite. Soit m1, . . . , mk ∈R, on pose Yij =miij i= 1, . . . , k j= 1. . . n.

a) Quels sont les estimateurs du maximum de vraisemblancembi demi (i= 1, . . . , k) ?

b) On se propose maintenant de construire une statistique de test pour les hypoth`eses non lin´eaires :

H0 k

X

i=1

m2i = 1 H1 k

X

i=1

m2i 6= 1.

Pour cela, on se propose d’utiliser la statistique de test

Tn=√ n

k

X

i=1

mb2i −1

! .

Montrer queTn peut s’´ecrire sous la forme suivante

Tn= 1

√n

k

X

i=1

ni)2+ 2

k

X

i=1

in)mi+√ n(

k

X

i=1

m2i −1),

o (ξin)i=1...k sont i.i.d. de loiN(0,1).

c) On suppose que H0 est v´erifi´ee. Montrer que 1nPk

i=1ni)2 converge en probabilit´e vers 0. En d´eduire queTn converge en loi. Pr´eciser la loi limite.

d) On suppose que H1 est v´erifi´ee. En utilisant la question pr´ec´edente, montrer que presque sˆurement limn→∞|Tn|= +∞.

e) D´eduire des questions pr´ec´edentes une proc´edure de test pour d´ecider entreH0 etH1.

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