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2 Mod` ele lin´ eaire

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Master 2 IMAT

Examen de Plans d’exp´erience du 9 D´ecembre 2013 Dur´ee : 2h, 13h30-15h30

Notes de cours autoris´ees.

Les r´esultats seront ˆetre justifi´es. Les calculatrices sont autoris´ees

1 Un petit mod` ele de r´ egression lin´ eaire

Soit u= u1

u2

et v = v1

v2

deux vecteurs libres de la sph`ere unit´e de R2. On consid`ere le mod`ele de r´egression lin´eaire

Yi =uiα+viβi, i= 1,2. (1) α

β

est le param`etre inconnu et ε1

ε2

est un couple de variables al´eatoires gaussiennes centr´ees ind´ependantes et de mˆeme variance σ2.

1. Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance du param`etre.

2. On pose X = (u v). Calculer les valeurs propres de la matrice d’information XTX.

3. On rappelle qu’un plan d’exp´eriences est dit E-optimal lorsqu’il minimise la plus grande valeur propre de la matrice de variance-covariance de l’estimateur du maximum de vraisemblance du param`etre. D´ecrire les plansE-optimaux pour le mod`ele lin´eaire (1).

2 Mod` ele lin´ eaire

2.1 Construction de Sylvester des matrices de Hadamard

Soit H0 := 1. Pour n≥1, on pose N = 2n et

Hn:=

Hn−1 Hn−1 Hn−1 −Hn−1

.

1. CalculerH1, H2 et H3.

2. Soitn ≥1, pour i, j = 1,· · · , N, on note hijn l’´el´ement de la ligne i, colonne j de Hn et hjn la colonne j deHn . Quel est l’ensemble des valeurs possible de hijn ? Que vaut khjnk2 (norme euclidienne standard).

3. Montrer par r´ecurrence que la matrice Hn satisfait l’´equation HnTHn = N IN, o`u IN d´esigne la matrice identit´e de RN. Que vaut |detHn|?

1

(2)

2.2 Mod` ele additif associ´ e ` a la matrice de Hadamard

Soit θ = (θj)j=1···N−1 ∈ RN−1, σ2 > 0 et (εn) une suite i.i.d. de variables al´eatoires de loi normale standard. On consid`ere le mod`ele lin´eaire gaussien dont la i-`eme observation (i= 1,· · ·, N) vaut

Yi =

N−1

X

j=1

hijnθjεi.

1. Mettre le mod`ele lin´eaire sous la forme vectorielle standard Y =Xθ.

2. Pourj = 1. . . N−1 Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblanceθbj deθj en fonction de hjn, (on notera h·,·i le produit scalaire). Quelle est la loi de l’estimateur du maximum de vraisemblance d´ebias´e de σ2?

3. Pour λ >0, on consid`ere maintenant l’estimateur ridge θbλ deθ obtenu par minimi- sation du crit`ere des moindres carr´es p´enalis´es :

kY −Xθk22+λkθk22.

Pour j = 1. . . N −1, calculer θbjλ. Quel est sont biais ? Sa variance ? Son risque qua- dratique ?

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