Magist`ere d’´economiste statisticien 2009–2010
Examen de septembre 2010
Dur´ee 1h-Aucun document autoris´e-Les calculatrices scientifiques ne sont pas autoris´ees
Mod` ele lin´ eaire
On consid`ere le mod`ele de r´egression
Yj =a∗+b∗xj+εj, j = 1. . . n≥2.
Lesxj sont pour j = 1. . . n donn´es et prennent au moins deux valeurs distinctes. Les variables al´eatoiresεj (j = 1. . . n), sont i.i.d. de loi gaussienne centr´ee et de varianceσ∗2. Les param`etres inconnus du mod`ele sont a∗, b∗ et σ∗2.
a) Calculer les estimateurs du maximum de vraisemblance des param`etres a∗, b∗ et σ∗2. b) Construire un intervalle de confiance pour a∗.
c) Tester l’hypoth`eseb∗ = 0.
d) Soit maintenant X1. . . Xn unn-´echantillon de loi uniforme sur [0,1]. On consid`ere main- tenant le mod`ele
Yj =α∗+β∗Xj +ξj, j = 1. . . n≥2.
Ici les variables ξj (j = 1. . . n), sont i.i.d. centr´ees de variance σ20 (mais ce ne sont pas n´ecessairement des gaussiennes). On suppose de plus que les suites (Xj) et (ξj) sont ind´ependantes. On reprend les estimateurs trouv´es `a la question a) o`u lesxj sont remplac´es par les Xj. Appelons αcn et cβn ces estimateurs. Montrer que (αcn,cβn) converge presque sˆurement vers (α∗, β∗).
