1.2 Mod´ elisation d’un programme lin´ eaire

Master 2 LT, MPM, MIR

Universit´e du Littoral - Cˆote d’Opale, Pˆole Lamartine Laurent SMOCH

(smoch@lmpa.univ-littoral.fr) Septembre 2013

Laboratoire de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees Joseph Liouville Universit´e du Littoral, zone universitaire de la Mi-Voix, bˆatiment H. Poincarr´e

50, rue F. Buisson, BP 699, F-62228 Calais cedex

0 Introduction g´en´erale 1

1 La programmation lin´eaire - M´ethode graphique 7

1.1 Introduction . . . 7

1.2 Mod´elisation d’un programme lin´eaire . . . 7

1.2.1 Exemples . . . 8

1.2.2 Formule g´en´erale d’un programme lin´eaire . . . 9

1.3 M´ethode graphique : probl`eme `a deux inconnues . . . 11

1.3.1 R´egionnement du plan . . . 11

1.3.2 Les ensembles convexes . . . 12

1.3.3 R´esolution de syst`emes d’in´equations - Exemples . . . 12

1.3.4 R´esolution de programmes lin´eaires . . . 16

1.3.5 Cas g´en´eral . . . 22

1.3.6 Exercices . . . 22

2 La programmation lin´eaire - M´ethode du simplexe 31 2.1 Introduction . . . 31

2.2 La m´ethode du simplexe . . . 31

2.2.1 Programme lin´eaire standard . . . 31

2.2.2 L’algorithme du simplexe . . . 33

2.2.3 D´etermination d’une solution de base admissible . . . 58

2.2.4 Utilisation de la m´ethode du simplexe lorsque la solution optimale n’existe pas . . . . 60

2.2.5 Utilisation de la m´ethode du simplexe dans un probl`eme de minimisation . . . 61

2.2.6 Exercices r´ecapitulatifs . . . 62

I

Introduction g´ en´ erale

La recherche op´erationnelle (aussi appel´ee “aide `a la d´ecision”) peut ˆetre d´efinie comme l’ensemble des m´ethodes et techniques rationnelles orient´ees vers la recherche de la meilleure fa¸con d’op´erer des choix en vue d’aboutir au r´esultat vis´e ou au meilleur r´esultat possible.

Elle fait partie des “aides `a la d´ecision” dans la mesure o`u elle propose des mod`eles conceptuels en vue d’ana- lyser et de maˆıtriser des situations complexes pour permettre aux d´ecideurs de comprendre et d’´evaluer les enjeux et d’arbitrer et/ou de faire les choix les plus efficaces.

Ce domaine fait largement appel au raisonnement math´ematique (logique, probabilit´es, analyse des donn´ees) et `a la mod´elisation des processus. Il est fortement li´e `a l’ing´enierie des syst`emes, ainsi qu’au management du syst`eme d’information.

La recherche op´erationnelle trouve son origine au d´ebut du XXe si`ecle dans l’´etude de la gestion de stock avec la formule du lot ´economique (dite formule de Wilson) propos´ee par Harris en 1913. Mais ce n’est qu’avec la seconde guerre mondiale que la pratique va s’organiser pour la premi`ere fois et acqu´erir son nom. En 1940, Patrick Blackett est appel´e par l’´etat-major anglais `a diriger la premi`ere ´equipe de recherche op´erationnelle, pour r´esoudre certains probl`emes tels que l’implantation optimale de radars de surveillance ou la gestion des convois d’approvisionnement. Le qualificatif “op´erationnelle” vient du fait que la premi`ere application d’un groupe de travail organis´e dans cette discipline avait trait aux op´erations militaires.

Apr`es la guerre, les techniques de RO-AD se sont consid´erablement d´evelopp´ees grˆace, notamment, `a l’ex- plosion des capacit´es de calcul des ordinateurs. Les domaines d’application se sont ´egalement multipli´es.

Citons quelques m´ethodes :

• Plus court chemin (Shortest path) : En th´eorie des graphes, l’algorithme de Dijkstra sert `a r´esoudre le probl`eme du plus court chemin. Il permet par exemple, de d´eterminer le plus court chemin pour se rendre d’une ville `a une autre connaissant le r´eseau routier d’une r´egion. Il s’applique `a un graphe connexe dont le poids li´e aux arˆetes est un r´eel positif. L’algorithme porte le nom de son inventeur, l’informaticien n´eerlandais Edsger Dijkstra et a ´et´e publi´e en 1959.

Exemple 0.0.1 Un “serial traveller” am´ericain recherche le plus court chemin entre Boston et Los Angeles. On donne dans la carte ci-dessous les diff´erents axes qu’il souhaite emprunter.

Figure1 – Carte des ´Etats-Unis Quel est le trajet optimal ?

1

• Voyageur de commerce (TSP - Traveling-Salesman Problem) : En partant d’un groupe de villes donn´ees, il consiste `a visiter une fois chacune des villes (une seule et unique fois) tout en minimi- sant la distance de vos d´eplacements. Ce probl`eme qui paraˆıt `a tord ´el´ementaire est effectivement anodin pour un petit nombre de villes, mais, lorsque vous ajoutez d’autres villes, le nombre de che- mins possibles cr`eve le plafond. Il ne faut donc pas s’´etonner si le probl`eme du voyageur de commerce est class´e dans la cat´egorie des probl`emes NP-complets. Dans ce probl`eme, le nombre de chemins hamiltoniens est ´egal `a n!/2 o`uncorrespond au nombre de villes qui composent le probl`eme. Une so- lution g´en´erale efficiente n’a pas encore ´et´e d´ecouverte. Les math´ematiciens ont conclu que le meilleur moyen ´etait d’utiliser un algorithme avec des polynˆomes variant en rapport avec le nombre de villes.

A l’heure actuelle, la meilleure solution varie de fa¸` con exponentielle en fonction du nombre de villes.

Exemple 0.0.2 Un voyageur de commerce, bas´e `a Toulon, doit visiter ses clients `a travers la France :

Figure 2 – Localisation g´eographique des clients

Quelle tourn´ee le voyageur de commerce doit-il effectuer afin qu’elle soit la plus courte possible ?

• Mariages stables (Stable Marriage problem) : On se donne deux ensembles A et B ayant chacun n

´

el´ements. On se donne aussi, pour chaque ´el´ement de A et B, une fonction de pr´ef´erence, qui classe les ´el´ements de l’autre ensemble. On cherche alors `a associer de fa¸con bijective les ´el´ements de A avec ceux de B, pour qu’il n’existe pas a∈A et b∈B tels que a pr´ef`ere b `a l’´el´ement qui lui est associ´e, etb pr´ef`erea`a l’´el´ement qui lui est associ´e.

Exemple 0.0.3 On consid`ere 3 femmes (Alice, B´en´edicte et Camille) et 3 hommes (Dominique, Elie et Fran¸cois) dont voici les pr´ef´erences respectives :

Pr´ef´erences des femmes Pr´ef´erences des hommes

A : F D E D : A B C

B : E D F E : B C A

C : F D E F : A C B

Table 1 – Pr´ef´erences des femmes et des hommes Comment doit-on organiser les couples ?

• L’optimisation des flux et l’algorithme de Ford-Fulkerson : L’algorithme de Ford-Fulkerson, du nom de ses auteurs L.R. Ford et D.R. Fulkerson, consiste en une proc´edure it´erative qui permet de d´eterminer un flot (ou flux) de valeur maximale (ou minimale) `a partir d’un flot constat´e. Ce probl`eme d’op- timisation peut ˆetre repr´esent´e par un graphe comportant une entr´ee (`a gauche) et une sortie (`a droite). Le flot repr´esente la circulation de l’entr´ee vers la sortie d’o`u l’utilisation de cet algorithme dans les probl`emes de r´eseaux. Les applications sont multiples : probl`emes informatiques, routiers, ferroviaires, . . . . Il s’applique ´egalement `a tous les autres probl`emes de transferts comme les importa- tions/exportations, les flux migratoires, d´emographiques mais aussi sur les flux plus abstraits tels que

les transferts financiers.

Exemple 0.0.4 Avant d’´etablir un projet de construction d’autoroute on d´esire ´etudier la capacit´e du r´eseau autoroutier, repr´esent´e par le graphe suivant. On y a ´evalu´e le nombre maximal de v´ehicules que chaque route peut ´ecouler par heure, compte tenu des ralentissements aux travers´ees des villes et villages, des arrˆets aux feux,. . . Ces ´evaluations sont indiqu´ees en centaines de v´ehicules par heure sur les arcs du graphe (nombres entre crochets). Les temps de parcours entre villes sont tels que les automobilistes n’emprunteront que les chemins repr´esent´es par le graphe.

Figure 3 – R´eseau autoroutier et capacit´es

Quel est le d´ebit horaire total maximum de v´ehicules susceptibles de s’´ecouler entre les villes E et S ?

• L’ordonnancement et la gestion de projets : De nombreux travaux traitent de l’ordonnancement et de la gestion de projets, mais aussi de logistique (tourn´ees de v´ehicules, conditionnement. . . ), de planification, et de probl`emes d’emploi du temps.

– La gestion de projet est une d´emarche visant `a organiser de bout en bout le bon d´eroulement d’un projet. Lorsque la gestion de projet porte sur un ensemble de projets concourant `a un mˆeme objectif, on parle de gestion de programme.

– La th´eorie de l’ordonnancement est une branche de la recherche op´erationnelle qui s’int´eresse au calcul de dates d’ex´ecution optimales de tˆaches. Pour cela, il est tr`es souvent n´ecessaire d’affecter en mˆeme temps les ressources n´ecessaires `a l’ex´ecution de ces tˆaches. Un probl`eme d’ordonnancement peut ˆetre consid´er´e comme un sous-probl`eme de planification dans lequel il s’agit de d´ecider de l’ex´ecution op´erationnelle des tˆaches planifi´ees. Les m´ethodes couramment utilis´ees pour ordonnan- cer un projet sont les m´ethodes MPM et PERT.

Exemple 0.0.5 La soci´et´e SGTB (Soci´et´e des Grands Travaux de la Bi`evre) a re¸cu la maˆıtrise d’œuvre de la construction d’une piscine olympique sur un campus universitaire. Le tableau des ant´eriorit´es des tˆaches est le suivant :

Codes Tˆaches Ant´eriorit´es Dur´ee (en jours) Suivants

A Excavation – 5 B,F

B Fondation A 2 C

C Pose de canalisations B 4 D

D Essais en pression C,G 8 E

E Etanch´eit´e D 9 J

Table 2 – Tableau des tˆaches et ant´eriorit´es (Partie 1)

Codes Tˆaches Ant´eriorit´es Dur´ee (en jours) Suivants

F Mise en place de la station d’´epuration A 6 G

G Mise en place du chauffage F 5 D,H

H Raccordement ´electrique G 4 I

I Sonorisation sous-marine H 5 J

J Dallage E,I 6 K,L

K Construction des vestiaires J 8 M

L Construction du solarium J 2 M

M Mise en eau K,L 3 –

Table 3 – Tableau des tˆaches et ant´eriorit´es (Partie 2)

Les travaux d´ebutent le 1er avril. Chaque mois comporte 20 jours ouvrables. L’inauguration peut-elle avoir lieu comme pr´evu le 15 juin ?

Beaucoup d’autres probl`emes de recherche op´erationnelle peuvent ˆetre exprim´es comme des probl`emes d’optimisation lin´eaire. En optimisation, qui est une branche des math´ematiques, un probl`eme d’optimisation lin´eaire est un probl`eme d’optimisation dans lequel on minimise une fonction lin´eaire sur un poly`edre convexe.

La fonction-coˆut et les contraintes peuvent donc ˆetre d´ecrites par des fonctions lin´eaires (on devrait dire affines), d’o`u vient le nom donn´e `a ces probl`emes. Ceux-ci ne sont cependant pas lin´eaires dans le sens o`u leurs solutions d´ependraient lin´eairement de certaines donn´ees ; une non-lin´earit´e importante est en effet induite par la pr´esence des in´egalit´es d´efinissant les contraintes (en l’absence d’in´egalit´es, le probl`eme devient lin´eaire dans ce sens, mais est alors trivial : soit il n’y a pas de solution, soit tous les points admissibles sont solutions). L’optimisation lin´eaire (OL) est la discipline qui ´etudie ces probl`emes.

Parmi les probl`emes d’optimisation avec contraintes d’in´egalit´es, les probl`emes lin´eaires sont simples `a r´esoudre num´eriquement. On connaˆıt en effet des algorithmes polynomiaux efficaces, requ´erant donc un nombre d’it´erations qui est major´e par un polynˆome, fonction des dimensions du probl`eme.

Dans certains probl`emes d’OL, on requiert en plus que les variables ne prennent que des valeurs enti`eres (contraintes dites d’int´egrit´e), voire que les valeurs 0 ou 1. On parle alors de probl`eme d’optimisation lin´eaire en nombres entiers (OLNE). Ces derniers probl`emes sont beaucoup plus difficiles `a r´esoudre que les probl`emes d’OL `a variables continues.

Dans la premi`ere partie du cours, nous nous concentrerons sur les probl`emes lin´eaires, c’est-`a-dire les probl`emes o`u la fonction objectif et les contraintes sont purement lin´eaires. Lorsqu’il n’y a que deux variables de d´ecision, un probl`eme lin´eaire peut ˆetre r´esolu de mani`ere purement graphique. C’est ce que nous verrons dans le chapitre 1. Lorsqu’il y a un plus grand nombre de variables, un algorithme mis en œuvre sous la forme d’un programme informatique s’av`ere n´ecessaire. Il s’agit de l’algorithme du simplexe que nous verrons au chapitre 2 sous forme alg´ebrique. Le chapitre 3 est d´edi´e `a la traduction matricielle de la m´ethode du simplexe. Au chapitre 4, nous examinerons une question tr`es importante : `a savoir la sensibilit´e de la solution

`

a des modifications de donn´ees. On parle d’analyse post-optimale.

L’objet de la deuxi`eme partie du cours porte sur les probl`emes en nombres entiers. On devrait `a proprement parler de probl`emes lin´eaires en nombres entiers car on impose, en plus, aux contraintes et `a la fonction objectif d’ˆetre lin´eaires. Nous examinerons la question de la formulation de tels probl`emes au chapitre 5 tandis que nous verrons au chapitre 6 une technique de r´esolution de ces probl`emes : il s’agit de la m´ethode de branch and bound.

Lorsque les contraintes et/ou la fonction objectif sont non lin´eaires, on parle de probl`emes non lin´eaires.

C’est l’objet de la troisi`eme partie du cours. Nous verrons au chapitre 7 la formulation et les conditions

d’optimalit´e d’un probl`eme non lin´eaire tandis quelques m´ethodes de r´esolution de ces probl`emes seront pr´esent´ees au chapitre 8. Il est `a remarquer que toutes ces m´ethodes de r´esolution ´etant mises en œuvre dans des logiciels commerciaux, il ne viendrait plus `a l’id´ee de les programmer soi-mˆeme. Par exemple, le solveur d’Excel dispose d’une impl´ementation de ces algorithmes.

La programmation lin´ eaire - M´ ethode graphique

1.1 Introduction

La programmation math´ematique recouvre un ensemble de techniques d’optimisation sous contraintes qui permettent de d´eterminer dans quelles conditions on peut rendre maximum ou minimum une fonction objectif Z(X_j) de nvariables X_j li´ees parm relations ou contraintesH_i(X_j)≤0.

De nombreux probl`emes de l’entreprise peuvent s’exprimer en termes d’optimisation contrainte, aussi ren- contre t-on de multiples applications de la programmation math´ematique et ceci dans pratiquement tous les domaines de la gestion.

La gestion de production est le domaine o`u ces applications sont les plus nombreuses. On citera entre-autres : – l’´elaboration de plans de production et de stockage,

– le choix de techniques de production, – l’affectation de moyens de production,

– la d´etermination de la composition de produits.

Les applications sont ´egalement nombreuses dans le domaine du marketing avec, en particulier : – le choix de plans-m´edia,

– la d´etermination de politiques de prix, – la r´epartition des efforts de la force de vente, – la s´election des caract´eristiques du produit.

On citera encore des applications en mati`ere financi`ere (choix de programmes d’investissements), en mati`ere logistique (gestion des transports) et en mati`ere de gestion des ressources humaines (affectation de person- nel).

Si les applications de la programmation math´ematique sont aussi nombreuses, on doit l’attribuer en grande partie `a la souplesse de ses techniques en ce qui concerne leur formulation mais aussi `a la relative simplicit´e des m´ethodes de r´esolution utilisables dans les cas les plus courants et pour lesquelles existent des pro- grammes informatiques largement r´epandus.

Parmi les techniques de programmation math´ematique la programmation lin´eaire est la plus classique.

1.2 Mod´ elisation d’un programme lin´ eaire

La formalisation d’un programme est une tˆache d´elicate mais essentielle car elle conditionne la d´ecouverte ult´erieure de la bonne solution. Elle comporte les mˆemes phases quelles que soient les techniques requises ult´erieurement pour le traitement (programmation lin´eaire ou programmation non lin´eaire) :

1. La d´etection du probl`eme et l’identification des variables. Ces variables doivent correspondre exacte- ment aux pr´eoccupations du responsable de la d´ecision. En programmation math´ematique, les variables sont des variables d´ecisionnelles.

2. La formulation de la fonction ´economique (ou fonction objectif) traduisant les pr´ef´erences du d´ecideur exprim´ees sous la forme d’une fonction des variables identifi´ees.

7

3. La formulation des contraintes. Il est bien rare qu’un responsable dispose de toute libert´e d’action. Le plus souvent il existe des limites `a ne pas d´epasser qui revˆetent la forme d’´equations ou d’in´equations math´ematiques.

Le responsable d’une d´ecision ne dispose que de sa comp´etence pour r´ealiser une formalisation correcte du probl`eme pos´e car il n’existe pas de m´ethode en la mati`ere. Un moyen d’acqu´erir cette comp´etence est l’apprentissage comme propos´e dans les exemples suivants :

1.2.1 Exemples

Exemple 1.2.1 Une usine fabrique deux produits P1 et P2 `a l’aide de trois mati`eres premi`eres M1, M2

et M₃ dont on dispose en quantit´e limit´ee. On se pose le probl`eme de l’utilisation optimale de ce stock de mati`eres premi`eres c’est-`a-dire la d´etermination d’un sch´ema, d’un programme de fabrication tel que :

– les contraintes de ressources en mati`eres premi`eres soient respect´ees, – le b´en´efice r´ealis´e par la vente de la production soit maximum.

Mod`ele math´ematique :

– Donn´ees num´eriques des contraintes. La disponibilit´e en mati`eres premi`eres est de 18 unit´es deM₁, 8 unit´es deM₂ et 14 unit´es deM₃.

– Caract´eristiques de fabrication. Elles sont donn´ees dans le tableau ci-dessous : M1 M2 M3

P₁ 1 1 2

P₂ 3 1 1

– Hypoth`eses de lin´earit´e du mod`ele. La fabrication est `a rendement constant, c’est-`a-dire que pour fabriquerx₁ unit´es de P₁, il faut 1×x₁ unit´es de M₁, 1×x₁ unit´es deM₂ et 2×x₁ unit´es de M₃, de mˆeme pour la fabrication de x2 unit´es deP2.

– Lin´earit´e de la fonction ´economique. On suppose que le b´en´efice peut s’exprimer `a l’aide des b´en´efices unitaires c1,c2 sous la forme :

Z(x₁, x₂) =c₁x₁+c₂x₂

– R´ealisation d’un sch´ema de production. Un sch´ema de production est un couple (x₁, x₂), x₁ et x₂ d´esignant respectivement les quantit´es de P1 et P2 fabriqu´ees donc vendues, qui doit v´erifier les contraintes x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Deux questions se posent : un tel sch´ema est-il r´ealisable ? A-t-on suffi- samment de mati`eres premi`eres pour assurer une telle production ?

– Le programme lin´eaire : 













x₁≥0, x₂ ≥0 x₁+ 3x₂ ≤18 x1+x2 ≤8 2x₁+x₂ ≤14

Z(x₁, x₂) =c₁x₁+c₂x₂

o`u Z est une fonction ´economique ou fonction objectif qu’il faut maximiser.

Exemple 1.2.2 L’intendant d’un lyc´ee doit composer un menu qui doit contenir un minimum d’´el´ements nutritifs et qui doit ˆetre le moins coˆuteux possible. On se limite `a une situation simple, deux denr´ees ali- mentaires principales D1,D2 et trois ´el´ements nutritifs, les vitamines V, les calories C et les prot´eines P.

Le tableau suivant indique le nombre d’´el´ements nutritifs par unit´e d’aliment :

V C P D₁ 1 1 3 D₂ 5 2 2

Une unit´e deD₁ contient 1 unit´e de V, 1 unit´e de C et 3 unit´es de P.

Mod`ele math´ematique :

– Contraintes di´et´etiques. Le menu doit comporter au minimum 5 unit´es de V, 4 unit´es de C, 6 unit´es de P. Les coˆuts unitaires sont 20 pourD1, 25 pourD2.

– R´ealisation du menu. Un menu contenant x₁ unit´es deD₁,x₂ unit´es de D₂ est r´ealisable si le couple (x₁, x₂) v´erifie :









x1≥0, x2 ≥0 x₁+ 5x₂ ≥5 x1+ 2x2 ≥4 3x1+x2 ≥6

– Le programme lin´eaire. Le probl`eme consiste `a d´eterminer deux nombresx1 etx2 tels que :













x₁ ≥0, x₂ ≥0 x1+ 5x2 ≥5 x1+ 2x2 ≥4 3x₁+x₂ ≥6

Z(x1, x2) = 20x1+ 25x2

o`u Z est la fonction objectif `a minimiser.

1.2.2 Formule g´en´erale d’un programme lin´eaire

De fa¸con g´en´erale, un probl`eme de programmation math´ematique met en jeu quatre cat´egories d’´el´ements : – des variables ou activit´es,

– des coefficients ´economiques, – des ressources,

– des coefficients techniques.

Les activit´es sont les variables de d´ecision du probl`eme ´etudi´e. Il s’agit pour l’entreprise de s´electionner le meilleur programme d’activit´esX = (x<sub>1</sub>, . . . , x<sub>n</sub>), c’est-`a-dire celui qui est le plus conforme `a ses objectifs.

Les coefficients ´economiques mesurent le degr´e de r´ealisation de l’objectif de l’entreprise, associ´e `a une valeur unitaire de chacune des variables. `A chaque variablexj est ainsi associ´e un coefficient ´economiquecj. L’´evaluation des coefficients c_j d´epend du type d’objectif poursuivi : selon le cas ce sera un prix de vente, une marge brute, un coˆut variable unitaire, etc.

Les ressources peuvent ˆetre ´egalement de nature tr`es diverse selon le probl`eme rencontr´e. Dans tous les cas, ce sont les ´el´ements qui limitent le calcul ´economique de l’entreprise : des capacit´es de production limit´ees, des normes `a respecter, des potentiels de vente, etc. Dans tout probl`eme, il faudra ainsi prendre en consid`eration un vecteur de ressourcesB = (b1, . . . , bm) donn´e.

Par coefficient technique on d´esignera le degr´e de consommation d’une ressource par une activit´e. `A la ressource iet `a l’activit´e j correspondra le coefficient technique a_ij. Dans la mesure o`u le probl`eme ´etudi´e met en jeu n activit´es et m ressources, il faudra consid´erer m×n coefficients techniques que l’on pourra regrouper dans un tableau du type suivant :

``````

````````

Ressources

Activit´es

1 . . . j . . . n 1 a₁₁ . . . a_1j . . . a_1n ... ... . .. ... . .. ... i ai1 . . . aij . . . ain

... ... . .. ... . .. . . . m am1 . . . amj . . . amn

Si les variables sont continues, si les coefficients ´economiques et techniques sont ind´ependants des valeurs des variables, alors le probl`eme peut ˆetre formalis´e `a l’aide d’un programme lin´eaire.

Un mˆeme programme peut ˆetre traduit sous une forme canonique ou sous une forme standard; l’une et l’autre pouvant adopter soit la notation alg´ebrique classique soit la notation matricielle que l’on ne traitera pas ici.

Voyons tout d’abord la forme canonique. Elle se caract´erise par des contraintes pr´esent´ees sous la forme d’in´equations telles que





















x1 ≥0, x2 ≥0, . . . , xn≥0

a₁₁x₁+a₁₂x₂+. . .+a_1nx_n≤ ou ≥ ou =b₁ ...

a_i1x₁+a_i2x₂+. . .+a_inx_n≤ ou ≥ ou =b_i ...

am1x1+am2x2+. . .+amnxn≤ ou ≥ ou =bm

(1.1) et par une forme lin´eaire

Z(x₁, x₂, . . . , x_n) =c₁x₁+c₂x₂+. . .+c_nx_n

(1.2) R´esoudre le programme lin´eaire consiste `a d´eterminer les n-uplets (x1, x2, . . . , xn) qui optimisent Z (maxi- misent ou minimisent) Z ou `a montrer que de telsn-uplets n’existent pas.

On se donne les d´efinitions suivantes : D´efinition 1.2.1

– On appellesolution r´ealisabletoutn-uplet(x₁, x₂, . . . , x_n)v´erifiant le syst`eme d’in´equations pr´ec´edent.

– On appellesolution optimale toute solution r´ealisable qui optimise Z.

– On appellefonction objectif la forme lin´eaire

Z(x₁, x₂, . . . , x_n) =c₁x₁+c₂x₂+. . .+c_nx_n

– L’ensemble des solutions r´ealisables du programme lin´eaire P est appel´e domaine des solutions r´ealisables. Lorsque ce domaine est non vide, on dit que P estr´ealisable.

R´esoudre un programme lin´eaire consiste `a d´eterminer les valeurs des variables qui permettent d’optimiser la fonction ´economique.

Il existe diverses techniques de r´esolution parmi lesquelles la m´ethode graphique se montre `a l’´evidence la plus rapide et la plus simple mais aussi la plus limit´ee, car d`es lors que le nombre de variables ou de contraintes d´epasse 2, elle devient impraticable. C’est pourquoi divers chercheurs se sont efforc´es de mettre au point une m´ethode de calcul algorithmique qui permet de d´etecter la solution optimale (si elle existe) quel que soit le nombre des variables et des contraintes.

Bien que tr`es efficace, cette m´ethode connue sous le nom d’algorithme du simplexe, exige des calculs longs et fastidieux. C’est pourquoi ceux-ci sont de plus en plus confi´es `a l’outil informatique. D`es lors une question se pose : puisque les logiciels correspondants sont largement r´epandus, est-il n´ecessaire pour appliquer la m´ethode, d’en connaˆıtre les ressorts ? Deux raisons essentielles justifient une r´eponse affirmative :

– d’abord, la compr´ehension des principes de r´esolution est une aide pr´ecieuse pour, en amont, analyser et formaliser le probl`eme et pour, en aval, interpr´eter et exploiter la solution obtenue ;

– ensuite parce que la d´emarche algorithmique pr´esente en elle-mˆeme un int´erˆet formateur non n´egligeable.

1.3 M´ ethode graphique : probl` eme ` a deux inconnues

1.3.1 R´egionnement du plan

Le r´egionnement du plan revient `a ´etudier le signe de ax+by+cavec (a, b)̸= (0,0).

Si on consid`ere la droite D dont une ´equation est ax+by+c = 0 avec a ̸= 0 ou b ̸= 0, cette droite partage le plan en deux demi-plans (I) et (II) de fronti`ere D:

– Pour tout pointM(x, y) situ´e surD, on aax+by+c= 0 .

– Pour tous les pointsM(x, y) situ´es dans le demi-plan (I),ax+by+ca le mˆeme signe et siax+by+c >0 (respectivement<0) alors tous les pointsN(x, y) situ´es dans le demi-plan (II) v´erifientax+by+c <0 (respectivement >0).

Exemple 1.3.1

– Signe de x+y−1 :

On trace la droite d’´equation x+y−1 = 0. `A l’origine, x+y−1 = (0) + (0)−1 =−1<0 donc pour tous les points M(x, y) situ´es dans le demi-plan (II), x+y−1 <0 et pour tous les points N(x, y) situ´es dans le demi-plan (I), x+y−1>0. Pour les points P(x, y) de la droite D,x+y−1 prend la valeur 0.

– Signe de −x+y :

On trace la droite D d’´equation −x+y = 0, cette droite contient l’origine du rep`ere. Pour le point A(1,0), x−y = 1> 0 donc pour tous les points M(x, y) situ´es dans le demi-plan (I), x−y > 0 et pour tous les points N(x, y) situ´es dans le demi-plan (II), x−y < 0. Pour les points P(x, y) de la droieD,x−y prend la valeur 0.

1.3.2 Les ensembles convexes

D´efinition 1.3.1 Un ensemble E est dit convexe si pour M₁ etM₂ deux points quelconques de E, tous les points du segment [M₁, M₂]appartiennent `a E.

Exemple 1.3.2

• Le disque est un ensemble convexe :

• Le rectangle est un ensemble convexe :

• Le cercle n’est pas un ensemble convexe : les points du segment ]M₁, M₂[ n’appartiennent pas au cercle.

• Cet ensemble n’est pas convexe.

1.3.3 R´esolution de syst`emes d’in´equations - Exemples Exemple 1.3.3 On consid`ere le syst`eme suivant :









x₁≥0, x₂ ≥0

−x1−x2 ≤ −1 x₁+ 4x₂ ≤2 6x₁+x₂ ≤2

Commex1≥0 etx2≥0, les pointsM(x1, x2) seront choisis dans le quart du plan :

L’ensemble des solutions est repr´esent´e par la surface grise.

On consid`ere ensuite le syst`eme partiel

{ x1 ≥0, x2 ≥0 x₁+ 4x₂≤2

On trace la droiteD1 d’´equation x1+ 4x2= 2. Comment d´eterminer le demi-plan qui convient ? Il suffit de prendre un point quelconque du plan et d’observer si ses coordonn´ees v´erifient l’in´equation. Si c’est le cas, le point se situe dans le bon demi-plan. Consid´erons par exemple l’origine, x1 + 4x2 = 0 + 4×0 = 0≤ 2 donc l’origine est solution et tous les points situ´es dans le demi-plan contenant l’origine sont solutions.

On consid`ere ensuite le syst`eme





x₁≥0, x₂ ≥0 x₁+ 4x₂ ≤2

−x1−x2 ≤ −1

On trace la droite D2 d’´equation −x1−x2 =−1. Consid´erons l’origine, −x1−x2 = 0−0 = 0>−1 donc l’origine n’est pas solution, les solutions du syst`eme sont par cons´equent les points du triangleABC et son int´erieur avecA(1,0), B(2,0) etC

(2 3,1

3 )

.

On consid`ere enfin le syst`eme de d´epart









x₁≥0, x₂ ≥0 x₁+ 4x₂ ≤2

−x1−x2 ≤ −1 6x₁+x₂ ≤2

On trace la droite D3 d’´equation 6x1+x2 = 2. Consid´erons le point origine, 6x1+x2 = 6×0 + 0 = 0<2 donc l’origine est solution de l’in´equation. On s´electionne le demi-plan qui convient et on observe finalement que le syst`eme n’admet pas de solution (la partie grise est inexistante).

Exemple 1.3.4 On consid`ere le syst`eme suivant :





x₁≥0, x₂ ≥0 x1+x2 ≤1

−3x1+x2 ≤ −3 On s´electionne l’intersection des deux demi-plans x1≥0 et x2≥0.

On consid`ere la droite d’´equationD₁ :x₁+x₂ = 1. Le demi-plan qui convient est rep´er´e grˆace, par exemple,

`

a l’origine.

On consid`ere la droite d’´equation D2 : −3x1+x2 = −3. Le demi-plan qui convient est rep´er´e une fois de plus grˆace `a l’origine. L’ensemble solution se restreint `a un seul point, le couple solution (1,0).

Exemple 1.3.5 On consid`ere le syst`eme suivant :









x1≥0, x2≥0 x1+ 5x2 ≥5 x₁+ 2x₂ ≥4 3x₁+ 2x₂≥6

Commex₁≥0 etx₂≥0, les pointsM(x₁, x₂) seront choisis dans le quart du plan :

On consid`ere la droite d’´equationD1:x1+ 5x2 = 5. Le demi-plan qui convient est rep´er´e grˆace, par exemple,

`

a l’origine.

On consid`ere la droite d’´equationD2:x1+ 2x2 = 4. Le demi-plan qui convient est rep´er´e grˆace, par exemple,

`

a l’origine.

On consid`ere la droite d’´equation D3 : 3x1 + 2x2 = 6. Le demi-plan qui convient est rep´er´e grˆace, par exemple, `a l’origine.

Exemple 1.3.6 On consid`ere le syst`eme suivant :









x1≥0, x2≥0 x₁+ 3x₂ ≤18 x₁+x₂ ≤8 2x1+x2 ≤14 Soient les droites d’´equations respectives

D₁ :x₁+ 3x₂= 18, D₂ :x₁+x₂ = 8 etD₃ : 2x₁+x₂= 14.

L’ensemble solution est un poly`edre convexe limit´e par la ligne polygonale OABCD.

1.3.4 R´esolution de programmes lin´eaires

Exemple 1.3.7 On reprend le syst`eme de l’exemple 1.3.4 auquel on ajoute une fonction objectif :









x₁≥0, x₂ ≥0

−3x₁+x₂ ≤ −3 x1+x2 ≤1

Z(x₁, x₂) = 3x₁+x₂ `a maximiser

On rappelle que le domaine des solutions r´ealisables est donn´e graphiquement par :

Le programme lin´eaire admet une unique solution r´ealisable (1,0) qui est d’ailleurs la solution optimale.Z est maximum pour le couple (1,0) et vaut Z(1,0) = 3×1 + 0 = 3.

Exemple 1.3.8 On reprend le syst`eme de l’exemple 1.3.3 auquel on ajoute une fonction objectif :













x1≥0, x2 ≥0 x₁+ 4x₂ ≤2

−x₁−x₂≤ −1 6x1+x2 ≤2

Z(x₁, x₂) = 6x₁+x₂ `a maximiser

L’ensemble solution est donn´e graphiquement par :

Ce programme n’a pas de solution r´ealisable. Le domaine des solutions r´ealisables est le vide.

Exemple 1.3.9 On reprend le syst`eme de l’exemple 1.3.6 auquel on ajoute une fonction objectif :













x1≥0, x2 ≥0 x₁+ 3x₂ ≤18 x₁+x₂ ≤8 2x1+x2 ≤14

Z(x₁, x₂) = 2x₁+ 4x₂ `a maximiser Le domaine des solutions r´ealisables est donn´e graphiquement par :

Le domaine des solutions r´ealisables est un domaine plan, d´elimit´e par le polygone OABCD. Le domaine plan est un ensemble convexe.

On d´etermine ensuite les couples (x₁, x₂) de solutions r´ealisables tels queZ(x₁, x₂) = 2x₁+ 4x₂ soit maxi- mum. Pour tout nombre Z, on noteDZ la droite d’´equation

Z = 2x₁+ 4x₂

appel´ee g´en´eralement droite d’isovaleur de la fonction objectif. Un vecteur directeur de cette droite D_Z est

⃗ v

( −4 2

) ou w⃗

( −2 1

)

. Son coefficient directeur est−1

2. En effet, x₂ =−1

2x₁+Z

4. Lorsque Z varie, ces droites DZ ayant mˆeme coefficient directeur sont parall`eles entre elles. L’ordonn´ee `a l’origine des droitesDZ

est Z

4. MaximiserZ est ´equivalent `a maximiser Z

4. Le probl`eme consiste donc `a d´eterminer une ou plusieurs droites DZ qui rencontrent le domaine des solutions r´ealisables et ayant une ordonn´ee `a l’origine maximale.

Lorsque Z augmente, la droiteD_Z se d´eplace parall`element `a elle mˆeme vers le haut :

La droite DZ qui rencontre le domaine des solutions r´ealisables et qui a une ordonn´ee `a l’origine maximale est celle qui contient le point C.

Le programme lin´eaire a une seule solution maximale, le couple (3,5).

En conclusion, pour x1 = 3,x2 = 5, la fonction objectif est maximale et vaut Z(3,5) = 2×3 + 4×5 = 26.

Remarque 1.3.1 La fonction objectif atteint son maximum en un des sommets du polygone.

Exemple 1.3.10 On consid`ere le syst`eme









x1 ≥0, x2≥0 x1+x2 ≥2 2x₁+x₂≥3

Z(x1, x2) =−x1+x2 `a minimiser Le domaine des solutions r´ealisables est donn´e graphiquement par :

Le domaine des solutions r´ealisables est convexe. Minimisons la fonction objectif : pour Z donn´e, on trace la droiteD_Z d’´equation−x₁+x₂ =Z ⇔x₂ =x₁+Z. LorsqueZ varie, ces droitesD_Z de vecteur directeur ( 1

1 )

(de coefficient directeur 1) sont parall`eles entre elles. On recherche une ou plusieurs droitesDZ ayant une ordonn´ee `a l’origineZ minimale. Pour toute valeur deZ (∈R),DZ rencontre le domaine des solutions r´ealisables. Le programme lin´eaire n’a pas de solution minimale.

Exemple 1.3.11 On reprend le syst`eme de l’exemple 1.3.5 auquel on ajoute une fonction objectif :













x1 ≥0, x2≥0 x₁+ 5x₂≥5 x₁+ 2x₂≥4 3x1+ 2x2≥6

Z(x₁, x₂) = 20x₁+ 25x₂ `a minimiser Le domaine des solutions r´ealisables est donn´e graphiquement par :

Pour Z donn´e, on trace la droiteD_Z d’´equation Z(x₁, x₂) = 20x₁+ 25x₂ ou encorex₂ =−4

5x₁+ Z

25. Cette droiteD_Za pour coefficient directeur−4

5, pour vecteur directeur⃗v

( −25 20

) ouw⃗

( −5 4

)

et pour ordonn´ee

`

a l’origine Z

25. On trace des droitesD_Z de coefficient directeur −4

5 et on recherche une ou plusieurs droites D_Z, rencontrant le domaine des solutions r´ealisables et ayant une ordonn´ee `a l’origine Z

25 minimale. La droite D_Z rencontrant le domaine des solutions r´ealisables et ayant une ordonn´ee `a l’origine minimale est celle qui contient le pointC

( 1,3

2 )

. La fonction objectif atteint son minimum pour le couple (

1,3 2

)

et vaut Z

( 1,3

2 )

= 20×1 + 25×3

2 = 115 2 .

Exemple 1.3.12 On consid`ere le syst`eme mis en place dans le cadre de l’exemple 1.3.6 :













x₁≥0, x₂ ≥0 x1+ 3x2 ≤18 x₁+x₂ ≤8 2x₁+x₂ ≤14

Z(x1, x2) =c1x1+c2x2

o`u Z est une fonction ´economique ou fonction objectif qu’il faut maximiser et c₁ et c₂ sont les b´en´efices unitaires.

R´esolvons ce probl`eme lin´eaire, on discutera bien-sˆur des valeurs attribu´ees `ac₁ etc₂.

Le domaine des solutions r´ealisables est le domaine convexe d´elimit´e par le polygone OABCD. Les co- ordonn´ees des sommets sont obtenues en d´eterminant les intersections des droites donc en r´esolvant des syst`emes de deux ´equations `a deux inconnues.

Etude de cas particuliers´

• c1 = 1,c2= 4 : on trace les droitesD_Z d’´equations : x1+ 4x2 =Z ⇔x2 =−1

4x1+Z 4

de vecteur directeurv⃗1

( −4 1

)

. La droite qui a une ordonn´ee `a l’origine maximale est celle qui contient le pointD

( 0 6

)

. La fonction objectif est maximale pour le couple (0,6) et vautZ(0,6) = 0+4×6 = 24.

• c₁ = 2,c₂= 4 : on trace les droitesD_Z d’´equations :

2x1+ 4x2 =Z ⇔x2 =−1

2x1+Z 4 de vecteur directeur v⃗₂

( −2 1

)

. La droite qui a une ordonn´ee `a l’origine maximale est celle qui contient le point C

( 3 5

)

. La fonction objectif atteint son maximum au point (3,5) et vautZ(3,5) = 2×3 + 4×5 = 26.

• c1 = 2,c2= 2 : on trace les droitesDZ d’´equations :

2x1+ 2x2 =Z ⇔x2 =−x1+Z 2 de vecteur directeur v⃗3

( −1 1

)

. Cette droiteDZ est parall`ele au cˆot´e (BC) du polygone. La fonction objectif atteint son maximum en tous les points du cˆot´e (BC). La fonction objectif atteint donc ce maximum pour tous les couples (x₁, x₂) tels quex₁+x₂ = 8 et 3≤x₁≤6.Zvaut alors 2x₁+2x₂ = 16.

• c1 = 3,c2= 2 : on trace les droitesDZ d’´equations :

3x₁+ 2x₂ =Z ⇔x₂ =−3

2x₁+Z 2 de vecteur directeur v⃗4

( −2 3

)

. La droite qui a une ordonn´ee `a l’origine maximale est celle qui contient le point B

( 6 2

)

. La fonction objectif atteint son maximum au point (6,2) et vautZ(6,2) = 3×6 + 2×2 = 22.

• c₁ = 5,c₂= 1 : on trace les droitesD_Z d’´equations :

5x1+x2=Z⇔x2=−5x1+Z de vecteur directeur v⃗₅

( −1 5

)

. La droite qui a une ordonn´ee `a l’origine maximale est celle qui contient le pointA

( 7 0

)

. La fonction objectif atteint son maximum au point (7,0) et vautZ(7,0) = 5×7 + 1×0 = 35.

Remarque 1.3.2 En fonction des diff´erentes valeurs attribu´ees `a c<sub>1</sub> et c<sub>2</sub>, la fonction objectif atteint son maximum en diff´erents sommets du polygone. Le programme lin´eaire a soit une unique solution soit une infinit´e de solutions (lorsque la droite DZ est parall`ele `a l’un des cˆot´es du polygone).

Etude du cas g´´ en´eral

L’´equation de D_Z est donn´ee par :

DZ : c1x1+c2x2=Z ⇔x2=−c1

c2

x1+ Z c2

avec c1 >0, c2 >0.

Ces droitesD_Z ont pour vecteur directeur⃗v ( −c2

c₁ )

, pour coefficient directeurm=−c1

c₂ et pour ordonn´ee

`

a l’origine p= Z c₂.

MaximiserZest ´equivalent `a maximiser Z c2

. On recherche une ou plusieurs droitesD_Z rencontrant le domaine des solutions r´ealisables et ayant une ordonn´ee `a l’origine maximale.

– Le cˆot´e (AB) a pour ´equation 2x₁+x₂= 14, le coefficient directeur est−2 et 6≤x₁ ≤7.

– Le cˆot´e (BC) a pour ´equation x₁+x₂ = 8, le coefficient directeur est−1 et 3≤x₁ ≤6.

– Le cˆot´e (CD) a pour ´equation x1+ 3x2 = 18, le coefficient directeur est−1

3 et 0≤x1 ≤3.

La droite D_Z a pour coefficient directeur −c₁

c₂, on compare ensuite ce coefficient aux pentes des droites contenant les cˆot´es (AB), (BC) et (CD).

• −c1

c₂ <−2⇔ c1

c₂ >2⇔c1 >2c2

Dans ce cas, la droite des b´en´efices est plus “pointue” que le cˆot´e (AB). Le maximum est atteint au point A(7,0) et en ce point seulement. Le programme lin´eaire admet une seule solution maximale (7,0) qui est un sommet, avecx2= 0 on ne produit que P1.

• −c1

c2

=−2⇔c1 = 2c2

−2 est la pente du cˆot´e (AB). Les droites D_Z : c₁x₁+c₂x₂ =Z sont parall`eles au cˆot´e (AB). Il y a une infinit´e de solutions optimales repr´esent´ees par tous les points du segment [AB] d´efini par :

[AB] :

{ 2x₁+x₂ = 14 6≤x1≤7 Tous les couples (x1, x2) tels que

{ 6≤x1≤7

2x1+x2 = 14 sont solutions optimales, le b´en´efice vaut alors 14c2. En effet,Z(x1, x2) =c1x1+c2x2 = 2c2x1+c2x2 =c2(2x1+x2).

• −2<−c₁ c2

<−1⇔1< c₁ c2

<2

−1 est la pente du cˆot´e (BC),−2 celle de (AB). Le maximum est atteint en un seul point B qui est aussi un sommet.

• −c1

c₂ =−1⇔ c1

c₂ = 1⇔c1 =c2

Les droitesD_Z sont parall`eles au cˆot´e (BC). Il y a une infinit´e de solutions optimales repr´esent´ees par tous les points du segment [BC] d´efini par :

[BC] :

{ x₁+x₂= 8 3≤x1 ≤6 Tous les couples (x1, x2) tels que

{ 3≤x1 ≤6

x1+x2 = 8 sont solutions optimales, le b´en´efice vaut alors 8c1.

• −1<−c₁ c₂ <−1

3

−1

3 est la pente du cˆot´e (CD), −1 celle du cˆot´e (BC). Le programme lin´eaire a un seule solution optimale soit le point C(3,5) qui est un sommet.

• −c₁ c2

=−1

3 ⇔c₂= 3c₁

Les solutions optimales sont tous les points du segment [CD] d’o`u une infinit´e de solutions.

[CD] :

{ x1+ 3x2 = 18 0≤x1 ≤3

La fonction objectif atteint son maximum pour tous les couples (x{ 1, x2) tels que x1+ 3x2= 18

0≤x1 ≤3 et le b´en´efice vautZ = 18c1.

• −1

3 <−c1

c₂ <0⇔0< c1

c₂ < 1 3

Il existe une seule solution optimale c’est-`a-dire le point D(0,6) qui est un sommet ; x₁ ´etant nul, on ne produit que P2.

Exemple 1.3.13 Consid´erons l’exemple suivant faisant intervenir trois dimensions :





x₁≥0, x₂≥0, x₃ ≥0 2x₁+x₂+ 2x₃ ≤4

Z(x1, x2, x3) =x1+x2 `a maximiser

On trace le plan d’´equation 2x₁ +x₂ + 2x₃ = 4. Ce plan rencontre les axes de coordonn´ees aux points M₁



 2 0 0



,M₂



 0 4 0



,M₃



 0 0 2



.

Le domaine des solutions r´ealisables est repr´esent´e par l’int´erieur de la pyramide OM₁M₂M₃. La fonction objectif est Z(x1, x2, x3) =x1+x2. Lorsque Z varie,x1+x2=Z est l’´equation d’un plan parall`ele `a (0, ⃗k), ce plan rencontre le plan (O,⃗i,⃗j) suivant la droite d’´equationZ= 0 etx₁+x₂=Z. Le planP_Zqui rencontre le domaine des solutions r´ealisables et tel queZ soit maximum est celui qui contient le point M



 0 4 0



. La

fonction objectif atteint son maximum en un seul point qui est d’ailleurs un des sommets, c’est-`a-direM₂. 1.3.5 Cas g´en´eral

Soit un programme lin´eaireP. On admettra les r´esultats suivants :

1. Le domaine des solutions r´ealisables de tout programme lin´eaire `an variables est soit l’ensemble vide

∅ soit une partie convexe de Rⁿ.

2. Dans le cas d’un programme lin´eaire `a deux variables, le domaine des solutions r´ealisables, lorsqu’il n’est pas vide, est une partie Ddu plan d´elimit´e par un polygone convexe, poss´edant ´eventuellement des cˆot´es de longueur infinie.

Dans chaque cas, l’ensemble des solutions optimales (lorsqu’il n’est pas vide) contient un sommet de D, c’est-`a-dire que si la fonction objectif a un maximum ou un minimum, il est atteint en au moins un des sommets du polygone d´elimitant le domaine des solutions r´ealisables.

3. On admettra que ces r´esultats se g´en´eralisent `a un programme lin´eaire `a nvariables.

1.3.6 Exercices

Exercice 1Formaliser les situations suivantes :

1. La soci´et´eBonvin, S.A., qui pratique le n´egoce en vins propose `a sa client`ele deux vins de table : l’un est d´enomm´e “Extra”, l’autre “Sup´erieur”. Ces produits sont obtenus par coupage de crus issus de diverses r´egions : un vin de l’H´erault, un vin du Bordelais et un vin d’Italie.

Les coupages sont r´ealis´es selon les proportions fixes suivantes :

Vin “Extra” Vin “Sup´erieur”

Vin de l’H´erault 0,5 0,2

Vin du Bordelais 0,3 0,6

Vin d’Italie 0,2 0,2

Total 1 1

Apr`es les vendanges, la soci´et´e dispose en stock dans ses cuves des quantit´es suivantes de crus d’origine : Vin de l’H´erault .. 13600 hectolitres

Vin du Bordelais .. 12000 hectolitres Vin d’Italie ... 10400 hectolitres

Ces quantit´es constituent les ressources disponibles pour la production de l’ann´ee `a venir. En outre, compte tenu des capacit´es techniques de mise en bouteille existantes, cette production ne peut pas d´epasser 36000 hectolitres au total dans l’ann´ee.

L’activit´e de cette entreprise comporte des coˆuts qui ont ´et´e class´es en deux cat´egories :

– Une partie est consid´er´ee comme fixe ; elle correspond aux approvisionnements, puisque ceux-ci sont d´eja constitu´es, ainsi qu’aux frais de personnel. Ces coˆuts s’´el`event `a 12000000 euros pour l’ann´ee.

– L’autre partie correspond aux frais de mise en bouteille, d’emballage et de commercialisation. Cette seconde partie est proportionnelle aux quantit´es produites : soit 100 euros par hectolitre de vin quelle que soit la qualit´e de celui-ci.

Une ´etude de march´e r´ev`ele que celui-ci ne saurait absorber plus de – 20000 hectolitres de vin “Extra” `a 500 euros par hectolitre, – et 16000 hectolitres de vin “Sup´erieur” `a 600 euros l’hectolitre.

Le probl`eme de cette entreprise peut ˆetre formul´e ainsi :

Quelles quantit´es faut-il produire de vin “Extra” et “Sup´erieur” afin de rendre maximum le b´en´efice total ?

2. Consid´erons d´esormais :

– que le vin “Extra” doit contenir au moins 30% de cru du Bordelais et au plus 20% de cru d’Italie, – et que le vin “Sup´erieur” doit ˆetre compos´e d’au moins 60% de cru du Bordelais et d’au moins 20%

de cru de l’H´erault.

Toutes les autres caract´eristiques du probl`eme restent identiques au cas pr´ec´edent.

Le probl`eme peut s’exprimer sous la forme :

Quelle quantit´e de chaque vin d’origine affecter `a chaque qualit´e de produit fini ? 3. On consid`ere un coˆut d’approvisionnement qui n’est plus fixe. Transport inclus, il s’´el`eve `a :

vin de l’H´erault : 230 euros l’hectolitre, vin du Bordelais : 250 euros l’hectolitre, vin d’Italie : 180 euros l’hectolitre.

Il subsiste n´eanmoins un coˆut fixe constitu´e pour l’essentiel de frais de personnel, ´egal `a 4000000 euros.

Le probl`eme pr´esent comporte trois questions : - Quelle quantit´e produire - Quelle composition adopter

}

pour chaque vin, “Extra” et “Sup´erieur”,

- Quelle quantit´e de mati`eres premi`eres acqu´erir aupr`es des fournisseurs ?

Remarque 1.3.3 Ces trois questions sont li´ees et on peut constater que le fait de connaˆıtre la quantit´e de chaque mati`ere premi`ere incorpor´ee dans chaque produit permet de d´eterminer simultan´ement l’approvisionnement n´ecessaire, la composition ad´equate des produits et la quantit´e `a produire.

4. Les produits de la soci´et´e sont conditionn´es dans des r´ecipients de 0,75 litre et de 3 litres. Afin de pouvoir satisfaire la client`ele, Bonvin se fixe comme objectif annuel de disposer d’au moins 400000 bouteilles de 3 litres et d’au moins 3200000 bouteilles de 0,75 litre.

Pour produire ces r´ecipients Bonvin dispose de deux ateliers dont les rendements sont diff´erents : Nombre de r´ecipients par heure de fonctionnement

Atelier A Atelier B 0,75 litre ... 500 400

3 litres ... 400 320

Chaque atelier fonctionne au maximum 4000 heures dans l’ann´ee. Les pr´evisions de coˆut variable de production de chaque type de r´ecipient donnent comme r´esultats :

Coˆuts variables de production Atelier A Atelier B 0,75 litre ... 0,4 0,55

3 litres ... 0,75 0,85

MaisBonvin peut ´egalement sous-traiter la fabrication de ces r´ecipients `a la soci´et´eCorec qui propose comme tarif :

0,5 euro la bouteille de 0,75 litre 1 euro la bouteille de 3 litres Les dirigeants de Bonvin S.A. se posent trois questions

– faut-il produire des bouteilles et en quelles quantit´es ?

– en utilisant quelle technique de production (atelier A et/ou atelier B) ? – faut-il sous-traiter tout ou partie de la production `a Corec ?

qui peuvent ˆetre condens´ees en une seule :

Quelles fili`eres utiliser pour obtenir les bouteilles n´ecessaires ?

Exercice 2Une entreprise stocke successivement deux types de polystyr`enes A₁ et A₂ dans trois en- trepˆots distinctsE1,E2 etE3 afin qu’ils y subissent des traitements particuliers. Le coˆut de fonctionnement de l’entrepˆotE1 est de 200 euros par jour, celui de l’entrepˆotE2 est de 400 euros et celui de l’entrepˆot E3

est de 300 euros. Les temps de stockage pour une tonne de polystyr`eneA<sub>1</sub> sont de 3 jours dans l’entrepˆot E<sub>1</sub>, de 1 jour dans l’entrepˆot E<sub>2</sub> et d’une demi-journ´ee dans l’entrepˆotE<sub>3</sub>. Ils sont pour le polystyr`eneA₂ de 2 jours dans chacun des 3 entrepˆots.

Les coˆuts de fabrication des polystyr`enes A₁ etA₂ sont respectivement de 600 euros et 400 euros la tonne.

Les prix de vente d’une tonne des polystyr`enes fabriqu´es sont de 1950 euros pourA₁ et de 2440 euros pour A2.

1. (a) Calculer le coˆut de stockage d’une tonne de polystyr`eneA<sub>1</sub> et d’une tonne de polystyr`eneA₂. (b) D´eterminer le b´en´efice r´ealis´e par la fabrication, le stockage et la vente d’une tonne de chacun

des produits.

(c) En d´eduire que le b´en´efice total Z pour la production, le stockage et la vente de x tonnes de polystyr`eneA1 et de y tonnes de polysytyr`eneA2 est donn´e par Z(x, y) = 200x+ 240y.

2. La logistique des stockages est telle que l’entrepˆot E₁ peut fonctionner au maximum 360 jours dans l’ann´ee, l’entrepˆotE2peut fonctionner au maximum 160 jours par an, l’entrepˆotE3ne peut fonctionner annuellement plus de 120 jours.

La demande est telle que la production de polystyr`eneA₁ ne peut d´epasser 120 tonnes, celle deA₂ 50 tonnes.

(a) D´eterminer les nombres x et y de tonnes des deux produits fabriqu´es pour que l’entrepˆot E₁ fonctionne exactement 360 jours et l’entrepˆotE3 exactement 120 jours. Cette production est-elle possible ?

(b) On veut maintenant d´eterminer les nombresxetyde tonnes des deux produits fabriqu´es, stock´es et vendus qui donneraient `a l’entreprise le b´en´efice maximum.

i. Donner les 7 contraintes de production ainsi que la fonction `a maximiser sous la forme d’un programme lin´eaire du type











x≤ · · · et/ou ≥ · · · y≤ · · · et/ou ≥ · · ·

...

Z(x, y) =· · · `a maximiser

ii. Repr´esenter sur le graphique ci-joint le domaine des solutions r´ealisables en justifiant.

iii. `A l’aide d’une r´esolution graphique, d´eterminer en justifiant la production qui assurera le b´en´efice maximal. Quel sera alors son prix ?

Exercice 3Une entreprise poss`ede deux unit´es de productionU1 etU2. Elle commercialise ses produits `a l’aide de trois entrepˆots distinctsE₁,E₂ etE₃ situ´es dans diff´erentes zones de consommation. Le tableau ci- dessous indique pour chaque entrepˆot, les proportions de stockage d’unit´esx etyprovenant respectivement de U1 etU2.

HHU_i HHHH Ei

E1 E2 E3

U1 1 2 1

U2 2 3 1

Ces valeurs signifient par exemple que les structures de l’entrepˆot E1 permettent de stocker 2 fois plus d’unit´es provenant de U2 que d’unit´es provenant deU1.