Recherche Op´erationnelle 1A Programmation Lin´eaire Dualit´e

Recherche Op´erationnelle 1A Programmation Lin´eaire

Dualit´e

Zolt´an Szigeti

Laboratoire G-SCOP INP Grenoble, France

Algorithme du simplexe r´evis´e

Etant donn´es un PL sous forme standard, une base r´ealisable´ J, et sa forme standard par rapport `aJ :

A·x =b x ≥0 c^T·x =z(max)

Aˆ·x= ˆb x≥0 ˆ

c^T ·x=z(max)−zˆ₀

1 bˆ= (A^J)⁻¹·b,

2 π^T =c_J^T ·(A^J)⁻¹,

3 cˆ^T =c^T −c_J^T ·Aˆ=c^T −c_J^T·(A^J)⁻¹·A=c^T −π^T ·A,

4 Aˆ^s = (A^J)⁻¹·A^s,

5 zˆ₀ =c^T·x=c_J^T ·x_J =c_J^T ·bˆ=c_J^T ·(A^J)⁻¹·b =π^T ·b.

Dualit´e

Introduction du dual Primal

A·x ≤b x ≥0 c^T·x =z(max)

On cherche une borne sup´erieure pour z(max).

Dual

Exemple 1x₁+ 2x₂ ≤3 3x₁−1x₂ ≤5 x₁, x₂ ≥0 6x₁+ 4x₂ =z(max)

On essaie de borner 6x₁+ 4x₂ par une combinaison lin´eaire des in´egalit´es.

Premi`ere tentative

6x₁+ 4x₂ ≤6x₁+ 5x₂=3(1x₁+ 2x₂) +1(3x₁−1x₂) ≤3·3 + 1·5 = 14 On sait maintenant que z(max)≤14.

Dual

Deuxi`eme tentative plus intelligente

6x1+ 4x2≤(y1+ 3y2)x1+ (2y1−y2)x2=y1(1x1+ 2x2) +y2(3x1−1x2)

≤y1·3 +y2·5

Pour que ce soit vrai il faut quey satisfasse : 6≤y₁+ 3y₂,4≤2y₁−y₂,y₁,y₂≥0.

On sait maintenant que z(max)≤3y₁+ 5y₂.

Pour avoir la meilleure borne sup´erieure on minimisera 3y₁+ 5y₂. D´efinition

Primal

1x₁+ 2x₂ ≤3 3x₁−1x₂ ≤5 x₁, x₂≥0 6x₁+ 4x₂ =z(max)

Dual

1y₁+ 3y₂≥6 2y₁−1y₂≥4 y₁, y₂≥0 3y₁+ 5y₂=w(min)

Dual

En g´en´eral (forme canonique) Primal

A·x ≤b x ≥0 c^T·x =z(max)

Dual

y^T·A≥c^T y ≥0 y^T·b =w(min)

On essaie de borner c^T ·x par une combinaison lin´eaire des in´egalit´es : Borne sup´erieure

c^T ·x≤ (y^T ·A)·x =y^T ·(A·x) ≤y^T·b.

Pour que ce soit vrai il faut quey satisfasse : c^T ≤y^T ·Aet y ≥0.

On sait maintenant que z(max)≤y^T·b.

Pour avoir la meilleure borne sup´erieure on minimisera y^T ·b.

Dualit´e

En g´en´eral (forme canonique) Primal

A·x ≤b x ≥0 c^T·x =z(max)

Dual

y^T ·A≥c^T y ≥0 y^T ·b =w(min) Th´eor`eme faible de la dualit´e

Pour toutes solutions r´ealisablesx du primal et y du dual, on a : c^T·x≤y^T·b.

Dual

Th´eor`eme

Le dual du dual est le primal.

D´emonstration (forme canonique) (P)

A·x≤b x≥0 c^T·x=z(max)

(D)

y^T·A≥c^T y ≥0 y^T·b =w(min)

(D’)

u^T ·(−A^T)≥(−b^T) u≥0 u^T·(−c) =w^′(min)

(P’)

(−A^T)·y≤(−c) y≥0 (−b^T)·y=z^′(max)

Dual

En g´en´eral

Primal

A₁₁·x₁ +A₁₂·x₂ +A₁₃·x₃ ≤b₁ A₂₁·x₁ +A₂₂·x₂ +A₂₃·x₃ =b₂ A₃₁·x₁ +A₃₂·x₂ +A₃₃·x₃ ≥b₃

0≤x₁, x₂, 0≥x₃

c₁^T ·x₁ +c₂^T·x₂ +c₃^T ·x₃ =z(max)

Dual

y₁^T·A₁₁ +y₂^T ·A₂₁ +y₃^T ·A₃₁≥c₁^T y₁^T·A₁₂ +y₂^T ·A₂₂ +y₃^T ·A₃₂=c₂^T y₁^T·A₁₃ +y₂^T ·A₂₃ +y₃^T ·A₃₃≤c₃^T y₁ ≥0, y₂, y₃ ≤0

y₁^T·b₁ +y₂^T ·b₂ +y₃^T·b₃ =w(min)

Dualit´e

Th´eor`eme fort de la dualit´e Primal

A·x =b x ≥0 c^T ·x =z(max)

Dual

y^T·A≥c^T

y^T·b=w(min) S’il existe une solution r´ealisable du primal et du dual, alors on a :

z(max) =w(min).

Th´eor`eme fort de la dualit´e

D´emonstration (pour la forme standard)

1 Par le Th´eor`eme faible de la dualit´e, pour toutes solutions r´ealisables x^′ du primal et y^′ du dual, on a : c^T ·x^′ ≤y^′T ·b,donc

z(max)≤w(min),et en particulierz(max) est fini.

2 simplexe r´evis´e s’arrˆete avec ˆc^T ≤0,avec une solution optimale x du primal, 0≥cˆ^T =c^T −π^T ·A,donc

πest une solution r´ealisable du dual.

3 z(max)≤w(min)≤π^T ·b =c^T ·x =z(max),

par 1,πest une solution r´ealisable du dual,c^T·x =π^T·b,x est une solution optimale du primal.

4 z(max) =w(min).

Remarque

Les solutions r´ealisables x du primal et y du dual sont optimales si et seulement si c^T ·x=y^T ·b.(c^T·x≤z(max) =w(min)≤y^T ·b.)

Th´eor`eme des ´ecarts compl´ementaires

Th´eor`eme (pour la forme canonique)

Les solutions r´ealisables x du primal et y du dual sont optimales si et seulement si

1 si y_i >0 alorsa_i ·x =b_i ⇐⇒

si a_i·x <b_i alors y_i = 0 ⇐⇒

y_i(ai·x−bi) = 0.

2 si x_j >0 alorsy^T·a^j =c_j ⇐⇒

si y^T ·a^j >c_j alors x_j = 0 ⇐⇒

x_j(y^T ·a^j −c_j) = 0.

Th´eor`eme des ´ecarts compl´ementaires

D´emonstration c^T ·x= P

cjxj ≤

P(y^T·a^j)x_j = (y^T·A)·x=y^T ·(A·x) =P

y_i(a_i ·x)

≤P

y_ib_i =y^T·b.

x ety sont optimales⇐⇒

c^T·x=y^T·b ⇐⇒

on a ´egalit´e partout ⇐⇒

c_jx_j = (y^T ·a^j)xj pour toutj et y_i(ai·x) =y_ib_i pour touti (y^T·a^j −c_j)xj = 0 pour toutj et y_i(ai ·x−b_i) = 0 pour touti.

Perturbation des donn´ees

(P)

A·x ≤b x ≥0 c^T ·x =z(max)

(D)

y^T·A≥c^T y ≥0 b^T ·y =w(min)

(Pε)

A·x≤b+ε x≥0 c^T·x=zε(max)

(Dε)

y^T·A≥c^T y ≥0 (b+ε)^T ·y =wε(min) Qu’est-ce qui se passe si l’on perturbe un peu le vecteur b ?

Peut-on dire quelque chose sur le changement de la fonction objectif ? Le poly`edre a chang´e, on ne voit pas comment calculer zε(max).

Utilisons la dualit´e ! Le poly`edre du dual n’a pas chang´e.

La solution optimale y du (D) ne change pas pourεpetit.

Perturbation des donn´ees

(P)

A·x ≤b x ≥0 c^T ·x =z(max)

(D)

y^T·A≥c^T y ≥0 b^T ·y =w(min)

(Pε)

A·x≤b+ε x≥0 c^T·x=zε(max)

(Dε)

y^T·A≥c^T y ≥0 (b+ε)^T ·y =wε(min)

On peut calculer le changement de la fonction objectif en utilisant le th´eor`eme fort de la dualit´e o`u y est une solution optimale du (D) et de (Dε) :

zε(max) = wε(min) = (b+ε)^T ·y=b^T·y+ε^T·y

= w(min) +ε^T ·y

= z(max) +ε^T ·y.

Une solution optimale du dual

Remarque

1 Peut-on trouver une solution optimale du dualapr`es l’ex´ecution du simplexe sur le primal ?

2 On a vu dans la d´emonstration du th´eor`eme fort de la dualit´e que siJ est une base optimale du primal alors π^T =c_J^T ·(A^J)⁻¹ est une solution optimale du dual.

3 Peut-on trouverπ dans le dernier tableau ?

4 On sait que ˆc^T =c^T −π^T ·A,donc ˆ

c_J^T₁ =c_J^T₁−π^T ·A^J1 = 0−π^T ·I =−π^T.

A ^J

I b

c_J

1 0 −π^T

Application de la dualit´e (Couplages)

Programme Lin´eaire (Primal)

Le probl`eme de trouver un couplage de cardinal maximum dans un graphe biparti G = (U,V;E) peut ˆetre ´ecrit comme un programme lin´eaire.

X

e∈δ(w)

x(e) ≤ 1 ∀w ∈U∪V, x(e) ≥ 0 ∀e ∈E, X

e∈E

x(e) = z(max).

Application de la dualit´e (Couplages)

Programme Lin´eaire (Primal) pour un graphe biparti G = (U,V;E) X

e∈δ(w)

x(e) ≤ 1 ∀w ∈U∪V, x(e) ≥ 0 ∀e ∈E, X

e∈E

x(e) = z(max).

Remarques

1 Le vecteur caract´eristique d’un couplage de G est une solution r´ealisable du (P).

2 Une solution de base de (P) est le vecteur caract´eristique d’un

couplage deGcar le poly`edre du (P) est entier par la r`egle de Cramer et puisque chaque sous-matrice carr´ee de la matrice d’incidence d’un graphebipartiest de d´eterminant 0,1 ou −1.

Application de la dualit´e (Couplages)

Le dual du (P)

y(u) +y(v) ≥ 1 ∀uv ∈E, y(w) ≥ 0 ∀w ∈U∪V, X

w∈U∪V

y(w) = w(min).

Remarques

1 Le vecteur caract´eristique d’un transversal de G est une solution r´ealisable du (D).

2 Un point d’extrˆeme du poly`edre du (D) est le vecteur caract´eristique d’un transversal de Gcar le poly`edre du (D) est entier par la r`egle de Cramer et puisque chaque sous-matrice carr´ee de la matrice

d’incidence d’un graphe bipartiest de d´eterminant 0,1 ou−1.

Application de la dualit´e (Couplages)

Th´eor`eme (K˝onig) Dans un graphe bipartie,

le cardinal maximum d’un couplage = la valeur optimale du (P) =

la valeur optimale du (D) =

le cardinal minimum d’un transversal.

A l’´epoque, la programmation lin´eaire n’existait pas !`