Recherche Op´erationnelle 1A Th´eorie des graphes Plus courts chemins

Th´eorie des graphes Plus courts chemins

Zolt´an Szigeti

Ensimag, G-SCOP

EXO 5.1

Enonc´e´

Dans un r´eseau soient P un plus court (s,p)-chemin et x,y ∈V(P).

Alors le sous-chemin P[x,y] est un plus court (x,y)-chemin.

Enonc´e´

Dans un r´eseau soient P un plus court (s,p)-chemin et x,y ∈V(P).

Alors le sous-chemin P[x,y] est un plus court (x,y)-chemin.

Solution

1 Soit Q un plus court (x,y)-chemin, donc c(Q)≤c(P[x,y]).

2 R :=P[s,x] +Q+P[y,p] est un (s,p)-chemin.

3 Puisque P est un plus court (s,p)-chemin,

c(P)≤c(R) =c(P)−c(P[x,y]) +c(Q) d’o`u c(P[x,y])≤c(Q).

4 Doncc(P[x,y]) =c(Q),

5 c’est-`a-direP[x,y] est un plus court (x,y)-chemin.

EXO 5.2

Enonc´e´

Donner (a) les plus courtschemins issus du sommets, et puis (b) les plus longs chemins, dans le r´eseau suivant.

s

1

2

3

4

5 6

⑦

❃

✲

✲

❄ ✲s

✻ ✸

❄

q

✶ 1

3

2 -2

1

4

1

1

3 3 9 4

s 1

2

3

4

5 6

⑦

❃ ✲

✲

❄ s✲

✻ ✸

❄ q

✶ 1

3 2 -2

1 4

1 1

3 3 9 4

❄ ✲

✻

❄

✲

✲

✒

❘

❥✯ ❘ v1 ✒

0

❄ ✲

✻

❄

✲

✲

✲

❘

❥✯ ❘ v1 ✒

0 v2 1

✒

❄

✻

❄

✲

✲

❘

❥✯ ❘ v1 ✒

0 v2 1

✒

v3 2 ℓ(v2) = min{0 + 1}= 1

ℓ(v3) = min{1 + 1,0 + 3}= 2

❄ ✲

✻

❄

✲

✲

❘

❥✯ ❘ v1 ✒

0 v2 1

✒

v3 2

ℓ(v₄) = min{1 + 2}= 3 v43

❄ ✲

✻

❄

✲

✲

❘

❥✯ ❘ v1 ✒

0 v2 1

✒

v3 2

v43

v5 ℓ(v5) = min{2 + 1}= 3

3

❄ ✲

✻

❄

✲

✲

❘

❥✯ ❘ v1 ✒

0 v2 1

✒

v3 2

v43

v53 v6

-1

ℓ(v6) = min{3 + 3,2 + 4,

❄ ✲

✻

❄

✲

✲

❘

❥✯ ❘ v1 ✒

v2 1

✒

v3 2

v43

v53 v6

-1

1−2,3 + 1}=−1

v7 0

ℓ(v7) = min{3 + 3,−1 + 9,3 + 4}= 6 6

EXO 5.2(b)

s 1

2

3

4

5 6

⑦

❃ ✲

✲

❄ s✲

✻ ✸

❄ q

✶ 1

3 2 -2

1 4

1 1

3 3 9 4

❄ ✲

✻

✲

❄ ✲

✒

❘

❥✯ ❘ v₁ ✒

0

❄ ✲

✻

✲

❄ ✲

✒

❘

❥✯ ❘ v₁ ✒

0 1v₂

❄ ✲

✻

✲

❄ ✲

✒

❘

❥✯ ❘ v1 ✒

0 1v2

v3 3 ℓ(v2) = max{0 + 1}= 1

ℓ(v3) = max{1 + 1,0 + 3}= 3

❄ ✲

✻

✲

❄ ✲

✒

❘

❥✯ ❘ v1 ✒

0 1v2

v3 3

v43 ℓ(v2) = max{1 + 2}= 3

❄ ✲

✻

✲

❄ ✲

✒

❘

❥✯ ❘ v1 ✒

0 1v2

v3 3

v43

v54 ℓ(v5) = max{3 + 1}= 4

❄ ✲

✻

✲

❄ ✲

✒

❘

❥✯ ❘ v1 ✒

0 1v2

v3 3

v43

v54 ℓ(v6) = max{3 + 1,1−2,

v6 7

3 + 4,4 + 3}= 7

❄ ✲

✻

✲

❄✲

✒

❘

❥✯ ❘ v₁ ✒

0 1v2

v3 3

v43

v54 ℓ(v7) = max{3 + 3,7 + 9,4 + 4}= 16

v6 7 v7

16

Enonc´e´

En appliquant l’algorithme de Dijkstra, donner les plus courts chemins issus du sommet s, dans le r´eseau suivant.

✸

s ❄ ✲ ❄

✯

❥

✲

❂ 3 s

1

2

3

4

5 2

8

1

5

1 2

1

4

1

⑥

EXO 5.3

✸

s ❄ ✲❄

✯

❥

✲

❂ 3 s

1

2

3

4 5 2

8 1

5

1 2

1 4

1

⑥

✒

❘ ✲

✲

❄ ❄

✒

❘

✠

■ ✒

❘ ✲

✲

❄ ❄

✒

❘

✠

■ ✒

❘ ✲

✲

❄ ❄

✒

❘

✠

■

✒

❘ ✲

✲

❄ ❄

✒

❘

✠

■ ✒

❘ ✲

✲

❄ ❄

✒

❘

✠

■ ✒

❘ ✲

✲

❄ ❄

✒

❘

✠

■

✒

❘ ✲

✲

❄ ❄

✒

❘

✠

■

∞ ∞

∞ ∞

∞ ∞

∞ 0

∞

0 2

8

2

0

∞

∞ 3

7

0

2 3

5 7

4 0

2 3

4

5 7

0

2 3

4

5 6

0

2 3

5

4 6

✒

✒

✲

✒

✲ ✲

❘ ❘

✠

✒ ✲

❘

✠ ✲

Enonc´e´

Donner un r´eseau sans circuit absorbant avec une racine s pour lequel l’algorithme de Dijkstra ne trouve pas les chemins de coˆut minimum issus de s.

EXO 5.4

Enonc´e´

Donner un r´eseau sans circuit absorbant avec une racine s pour lequel l’algorithme de Dijkstra ne trouve pas les chemins de coˆut minimum issus de s.

Solution

Soit (G,c) le r´eseau ci-dessous. Alors l’algorithme de Dijkstra trouve le chemin sb pourb mais le chemin sabest plus court.

s

a

b

❄

✯

1 ❥ 2

−2

Enonc´e´

Soit (G,c) un r´eseau sans circuit absorbant et soits une racine deG. Soit wk(v) le coˆut minimum d’un (s,v)-chemin de longueur ≤k. Montrer que

(a) wk+1(v)≤wk(v) pour chaque sommet v.

(b) wk+1(v)≤c(uv) +wk(u) pour chaque uv ∈A(G).

(c) wk+1(v) = min{wk(v),c(uv) +wk(u) :uv ∈A(G)}.

(d) wn(v) =wn−1(v) pour chaque sommet v o`u n=|V(G)|.

EXO 5.5

Solution

Soit W^k(v) l’ensemble de chemins de s `a v de longueur≤k.

Alors wk(v) = min{c(P) :P ∈ W^k(v)}.

(a) Soit v ∈V(G).Si P ∈ W^k(v) tel quec(P) =wk(v) alors P ∈ Wk+1(v) doncwk+1(v)≤c(P) =wk(v).

(b) Soit uv ∈A(G).SiP ∈ Wk(u) tel quec(P) =wk(u) alors P +uv ∈ Wk+1(v) donc

wk+1(v)≤c(P +uv) =c(P) +c(uv) =wk(u) +c(uv).

Solution de (c)

1 Par (a) et (b),wk+1(v)≤min{wk(v),c(uv) +wk(u) :uv ∈A(G)}.

1 SoitP∈ W^k+1(v) tel quec(P) =w^k+1(v).

2 SiP∈ W^k(v) alorswk(v)≤c(P) =wk+1(v).

3 SinonPest de longueurk+ 1≥1.

4 Soientuv le dernier arc dePetP^′ :=P[s,u].

5 P^′ est un (s,u)-chemin de longueurk c’est-`a-direP^′ ∈ W^k(u).

6 Alorswk(u)≤c(P^′) =c(P)−c(uv) =wk+1(v)−c(uv).

7 D’o`uwk(u) +c(uv)≤wk+1(v).

2 Doncwk+1(v)≥min{wk(v),c(uv) +wk(u) :uv ∈A(G)}.

3 Les in´egalit´es (1) et (2) impliquent (c).

EXO 5.5

Solution de (d)

1 Soit P ∈ Wn(v) tel quec(P) =wn(v) et tel que |A(P)|soit minimum.

2 Alors P est un chemin ´el´ementaire.

1 Sinon il existe un sommetx∈V(G) qui est utilis´e plusieurs fois parP tel qu’aucun sommet deP[x,x] n’est utilis´e plusieurs fois parP[x,x].

2 En enlevant deP le sous-cheminP[x,x] (qui est un circuitC tel que c(C)≥0 et|A(C)|>0) on obtient un (s,v)-cheminP^′ tel que

3 c(P)≤c(P^′) =c(P)−c(C)≤c(P),

4 doncc(P^′) =c(P) et que|A(P^′)|<|A(P)| (contradiction).

3 Donc|A(P)| ≤n−1 c’est-`a-dire P ∈ Wn−1(v),

4 d’o`u wn−1(v)≤c(P) =wn(v).

5 D’apr`es (a) wⁿ(v)≤wⁿ₋1(v) donc on awⁿ(v) =wⁿ₋1(v).

Enonc´e´

Trouver les distances du sommets s aux autres sommets dans le r´eseau suivant en utilisant l’algorithme de Bellman-Ford (l’Exercice 5.5).

s -3

2 2

2 1 4 1

2

3

EXO 5.6

Solution

wk+1(v) = min{wk(v),c(uv) +wk(u) :uv ∈A(G)}.

s -3

2 2

2 1 4 1

2

3

0 1 2 3 4

s 0 0 0 0 0

1 ∞ 4 3 3 3

2 ∞ 1 1 1 1

3 ∞ 2 1 0 0

Solution

wk+1(v) = min{wk(v),c(uv) +wk(u) :uv ∈A(G)}.

s -3

2 2

2 1 4 1

2

3

0 1 2 3 4

s 0 0 0 0 0

1 ∞ 4 3 3 3

2 ∞ 1 1 1 1

3 ∞ 2 1 0 0