L’id´ee est de faire porter l’op´eration que l’on souhaite d´efinir sur les fonctions testes (d`es que cette op´eration `a un sens sur celles-ci)

Ecole Normale Sup´erieure 2006-2007

Cours d’Analyse Fonctionnelle et EDP mars 2007

Chapitre 2 - Introduction aux Distributions.

II.0 - Introduction.

L’objet”distribution” permet de g´en´eraliser l’objet”fonction” grˆace au concept dedualit´e. L’id´ee centrale est de ne pas regarder une fonctionf (disonsf ∈C(Ω))ponctuellement mais `a travers les quantit´es

ϕ 7→

Z

Ω

f(x)ϕ(x)dx,

o`u ϕ d´ecrit une classe de ”fonctions testes”, par exemple ϕ ∈ D(Ω). Grˆace au concept de distributions, il est possible de d´efinir convenablement des op´erations (d´erivation, transformation de Fourier) qui ne sont pas l´egitimes (qui n’ont pas de sens!) si l’on reste dans le cadre des fonctions. L’id´ee est de faire porter l’op´eration que l’on souhaite d´efinir sur les fonctions testes (d`es que cette op´eration `a un sens sur celles-ci).

On g´en´eralise ainsi une partie du”calcul diff´erentiel” et du”calucl int´egral”. Dans ce cours, l’int´erˆet des distributions est triple

- R´esoudre explicitement un certain nombre d’´equations. Cependant, par le calcul, ce sont essentiellement les ´equations (diff´erentielles, aux d´eriv´ees partielles, int´egrales) lin´eaires qui se laissent r´esoudre.

- Donner un sens aux ´equations aux d´eriv´ees partielles de mani`ere tr`es g´en´erale: une solution sera solution

”au sens des distributions”. Cependant, il est toujours possible de se passer du concept de distribution, car une solution est toujours solution en un sens beaucoup plus fort (vit dans un espace beaucoup plus petit que dans l’´enormeespace des distributions).

- Introduire un tout petit peu de ”g´eom´etrie diff´erentielle”, et en particulier, d´emontrer la formule de Stokes (et donc d´efinir la mesure de surface).

Ce qu’il faut retenir, est que l’espace des distributions est l’union de tous les espaces possibles et imaginables.

Plutˆot que de d´efinir les op´erations dans chaque espace que l’on rencontre il suffit de les d´efinir, une fois pour toute,”au sens des distributions”. Enfin, ce chapitre permet de nous concentrer sur l’essence mˆeme des distributions: ladualit´e, et de laisser de cˆot´e les autres concepts d’analyse que l’on retrouvera par la suite.

Pour commencer un cours sur les distributions, il est fondamental de bien connaˆıtre la topologie de R^N, le calcul diff´erentiel dans R^N et le calcul int´egrale de Lebesgue. Nous supposerons ces notions connues. On renvoie au pr´eambule du chapitre 4 pour des rappels sur l’int´egrale de Lebesgue et `a vos livres de r´ef´erence pr´ef´er´es pour le reste.

Rappelons la d´efinition d’une distribution comme elle a ´et´e d´efinie au chapitre I. Dans tout ce chapitre Ω d´esigne un ouvert deR^N,N ∈N^∗.

D´efinitions et Propri´et´es des Distributions 0.1. On dit que T est une distribution sur Ω si T : D(Ω)→Rest une forme lin´eaire continue selon un des sens ´equivalents suivants:

(a)T est continue surD(Ω);

(b) Pour tout K⊂Ω compact,T|^K est continue surC₀^∞(K):

∀K⊂Ω compact ∃m, ∃CK,m ∀ϕ∈ D(Ω), suppϕ⊂K |hT, ϕi| ≤CK,mpK,m(ϕ);

(c) T est s´equentiellement continue surD(Ω): (ϕn → ϕdans D(Ω)) implique (hT, ϕni → hT, ϕi), ou de mani`ere plus pr´ecise; pour toute suite (ϕn) deD(Ω) pour laquelle il existe un compactK⊂Ω telle que pour toutα∈N^N

suppϕn⊂K, ∂^αϕn→0 uniform´ement, alors hT, ϕni → 0.

(d) Pour tout K⊂Ω compact,T|^K est s´equentiellement continue surC₀^∞(K);

L’espace des distributions est un evtlcs lorsqu’il est muni de la topologie induite par les formes lin´eaires T 7→ hT, ϕi, pour tous lesϕ∈ D(Ω). En d’autres termes, la convergence d’une suite (Tn) versT dansD⁰ est la suivante:

Tn * T dans D⁰(Ω) si ∀ϕ∈ D(Ω) hTn, ϕi → hT, ϕi. On acceptera les trois r´esultats suivants (d´emontr´es au chapitre 1):

(e) Soit A ⊂ D⁰(Ω). Alors A est faiblement born´e (∀ϕ ∈ D ∃Cϕ tel que ∀T ∈ A |hT, ϕi| ≤ Cϕ) si, et seulement si, A est uniform´ement born´e (∀K ⊂ Ω compact ∃m, ∃C tels que ∀T ∈ A ∀ϕ ∈ D^K(Ω)

|hT, ϕi| ≤C pm,K(ϕ)).

(f) Soit (Tn) une suite deD⁰(Ω) telle que hTn, ϕi converge lorsque n→ ∞ pour tout ϕ ∈ D(Ω). Alors il existeT ∈ D⁰(Ω) telle queTn * T au sensσ(D⁰,D). De plus, (Tn) est born´ee, et siφn→φdansD(Ω) alors hTn, φni → hT, φi.

(g) Soit (Tn) une suite deD⁰(Ω) telle quehTn, ϕiest born´ee pour toutϕ∈ D(Ω). Alors il existe une sous-suite (Tnk) etT ∈ D⁰(Ω) telle queTnk * T au sens σ(D⁰,D).

Il n’est pas n´ecessaire de faire appel `a la ”th´eorie des evtlcs” pr´esent´ee dans le chapitre 1 pour d´efinir les distributions. Dans les espacesX ci-dessous on d´efinit la convergence dansX de la mani`ere suivante. Soit (ϕn) une suite deX etϕ∈X. On dit que ϕn converge versϕdansX, on noteϕn→ϕdansX:

•pour X=D(Ω) si∃K compact tel queϕn∈ D^K(Ω)∀net∀αon a∂^αϕn→∂^αϕuniform´ement sur Ω;

•pour X=C_c^m(Ω) si ∃K compact tq ϕn ∈ D^K(Ω)∀net ∀α≤mon a∂^αϕn →∂^αϕuniform´ement sur Ω;

•pour X=C^m(Ω) si ∀K compact et∀α≤mon a∂^αϕn→∂^αϕuniform´ement surK;

•pour X=E(Ω) si∀Kcompact et∀αon a∂^αϕn →∂^αϕuniform´ement surK;

•pour X=S(R^N) si∀α, β on ax^β∂^αϕn →x^β∂^αϕuniform´ement surR^N.

On dit queT est une forme lin´eaire (s´equentiellement) continue surX, on noteT ∈X⁰ et on appelleT une distribution, siT :X →Rest une application lin´eaire et

ϕn →ϕdansX =⇒ hT, ϕni → hT, ϕi.

Compte tenu de l’exercice suivant, cette d´efinition est suffisante pour l’usage des distributions que nous aurons dans ce cours.

Exercices 0.2. Montrer `a partir de la d´efinition ci-dessus et de mani`ere ´el´ementaire (directement) les r´esultats suivants (en fait, on demande de red´emontrer que dans un espace de Fr´echet, ou une limite inductive d’espaces de Fr´echet, il y a ´equivalence, pour une forme lin´eaire, entre ˆetre s´equentiellement continue et ˆetre born´e sur une ”boule”):

a) -T ∈ D⁰(Ω) si, et seulement si,

∀K⊂Ω compact, ∃m,∃C ∀ϕ∈ D^K(Ω) |hT, ϕi| ≤ C sup

|α|≤m

sup

x∈Ω|∂^αϕ(x)|. b) -T ∈(Cc^m(Ω))⁰ si, et seulement si,

∀K⊂Ω compact, ∃C ∀ϕ∈C_K^m(Ω) |hT, ϕi| ≤ C sup

|α|≤m

sup

x∈Ω|∂^αϕ(x)|.

c) -T ∈(C^m(Ω))⁰ si, et seulement si,

∃K⊂Ω compact, ∃C ∀ϕ∈C^m(Ω) |hT, ϕi| ≤ C sup

|α|≤m

sup

x∈K|∂^αϕ(x)|. d) -T ∈ E⁰(Ω) si, et seulement si,

∃K⊂Ω compact, ∃m,∃C ∀ϕ∈ E(Ω) |hT, ϕi| ≤ C sup

|α|≤m

sup

x∈K|∂^αϕ(x)|. Remarquer queE⁰(Ω) =S

C^m(Ω)0

. e) -T ∈ S⁰(R^N) si, et seulement si,

∃m,∃C ∀ϕ∈ S(R^N) |hT, ϕi| ≤ C sup

|α|≤m

sup

|β|≤m

sup

x∈R^N|x^β∂^αϕ(x)|.

II.1 - Exemples, d´erivation, multiplication, ordre, support, ....

On r´esume dans ce lemme, trois r´esultats ´elementaires fondamentaux pour la suite.

Lemme 1.1. 1) Pour tout ouvert Ω⊂R^N on aD(Ω)6=∅.

2) Soit Ω⊂R^Nun ouvert contenant l’origine. Pour toute fonctionρ∈ D(Ω) telle queρ≥0, Z

R^N

ρ(x)dx= 1, on d´efinie une suite d’approximation de l’identit´e (ρn) en posantρn(x) =n^−Nρ(n⁻¹x). Alors pour toute fonctionϕ∈ D(Ω) on a Z

Ω

ρn(x)ϕ(x)dx → ϕ(0) lorsque n→ ∞.

En d’autres termes,ρn * δ0au sens des distributions, ou plus pr´ecis´ement, au sens de la convergence faible σ(M_loc¹ (Ω), Cc(Ω))-∗.

3) Soitf ∈L¹_loc(Ω). Alors Z

Ω

f ϕ dx= 0 ∀ϕ∈ D(Ω) impliquef ≡0.

Preuve du lemme 1.1. 1) Lorsque Ω =B_R^N(0,1) il suffit de remarquer que la fonction ϕ(x) = exp

− 1 1− |x|²

si |x| ≤1, ϕ(x) = 0 si |x| ≥1, appartient `aD(Ω). Dans le cas g´en´eral, il suffit de translater et dilater cette fonction.

3) On d´efinit la ”fonction signe de f” sign(f) en posant (signf)(x) = +1 si f(x)> 0, (signf)(x) =−1 si f(x)<0 et (signf)(x) = 0 si f(x) = 0. Pour tout compact K ⊂Ω et pour une suite d’approximation de l’identit´e (ρn), on d´efinitϕn = (1Ksignf)∗ρn∈ D(Ω) pournassez grand, de sorte que

Z

K|f|= lim

n→∞

Z

Ω

f ϕndx= 0,

et doncf = 0 surK, puisf = 0 sur Ω (au sens p.p.). tu

Exemples 1.2. (i) Soitf ∈L¹_loc(Ω). Montrer que hT, ϕi:=

Z

Ω

f ϕ dx ∀ϕ∈ D(Ω)

d´efinit une distribution que l’on noteTf, {f}ou simplement f. Remarquer queT ∈M_loc¹ (Ω) = (Cc(Ω))⁰ et mˆemeT ∈(L^∞_c (Ω))⁰.

(ii) Soita∈Ω,α∈N^N. Montrer que

hT, ϕi:=∂^αϕ(a) ∀ϕ∈ D(Ω)

d´efinit une distribution que l’on noteδ^(α)a . Remarquer queT ∈M_loc¹ (Ω). On note parfoisδ^(α)=δ₀^(α). (iii) Soitµune mesure (positive) bor´elienneσ-finie sur Ω. Montrer

hT, ϕi:=

Z

Ω

ϕ dµ ∀ϕ∈C0(Ω)

d´efinit une distribution. Remarquer queT ∈M_loc¹ (Ω) (et que cela `a un sens sans notion de diff´erentiabilit´e sur Ω).

(iv)Valeur principale de1/x. Montrer que pour toutϕ∈ S(R) Z

|x|>ε

ϕ(x)

x dx admet une limite lorsqueε→0, que l’on note hvp1 x, ϕi. Montrer que vp(1/x) est une distribution temp´eree. On l’appelle valeur principale de 1/x.

Exercices 1.2. Espaces de fonctions tests et espaces de distributions.

1) - Soit u, v ∈ C^m(Ω), montrer que u v ∈ C^m(Ω) et∂^α(u v) = P

γ≤αC_α^γ∂^α−γu ∂^γv o`u on note γ ≤αsi αi≤αi pour toutietC_α^γ =Q

iC_α^γi_i.

2) - Soitu∈C^p(R^N),v∈C^q(R^N) avec l’une des fonctions `a support compact. Montrer queu∗v∈C^p+q(R^N),

∂^α(u∗v) = (∂^βu)∗(∂^γv) pour tout couple (β, γ) tel que α = β+γ, |β| ≤ p, |γ| ≤ q. Montrer que supp (u∗v)⊂suppu+suppvo`u pour une fonctionψ∈C(Ω) on d´efinit suppψ={x∈Ω, ψ(x)6= 0}= Ω\ω, avec ω le plus grand ouvert (l’union des ouverts!) sur lequel ψ s’annule. En particulier si u ∈ C_c^p(R^N), v∈C_c^q(R^N) alorsu∗v∈C_c^p+q(R^N). Montrer enfin que siu∈C^p(Ω) etv∈C_c^q(R^N) avec suppv⊂B_R^N(0, δ) alors u∗v ∈ C^p+q(Ωδ) avec Ωδ :={x ∈ Ω, dist(x,Ω^c)> δ}. En particulier si de plusu ∈ C_c^p(Ωδ) alors u∗v ∈C_c^p+q(Ω). En d´eduire que pour toutϕ∈C_c^m(Ω) il existe une suite (ϕj) de D(Ω) telle queϕj →ϕ dansC_c^m(Ω).

3) - Soit Ω un ouvert de R^N. Montrer qu’il existe une ”suite exhaustive de compacts” (Kj) telle que Kj⊂int(Kj+1)∀jet Ω = limKj. En d´eduire que tout compactK⊂Ω satisfaitK⊂Kjpour toutj≥JK. Montrer qu’il existe une suite (χj) deD(Ω) telle que 0≤χj ≤ 1 sur Ω, χj ≡1 dans un voisinage de Kj

et suppχj ⊂int(Kj+1). En d´eduire que pour tout ϕ∈ C^m(Ω), m∈ N∪ {+∞} alorsϕj =ϕ χj satisfait ϕj∈C_c^m(Ω) pour toutj ∈Net ϕj→ϕau sens deC^m(Ω).

4) -Partition de l’unit´e.SoitKun compact et soit (Vj) un recouvrement (quelconque) deKpar des ouverts.

Montrer qu’il existe des fonctionsψj∈ D(Ω) telles que suppψj ⊂Vj et P

jψj= 1 sur un voisinage deK.

5) - Montrer que (avec inclusion continue stricte)

D ⊂ S ⊂ E ⊂C^m+1⊂C^m⊂C ⊂L^∞_loc⊂L²_loc⊂L¹_loc⊂M_loc¹ ⊂(C_c^m)⁰⊂(C_c^m+1)⁰⊂ D⁰

∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪

D ⊂C_c^m+1⊂C_c^m⊂Cc ⊂ L^∞_c ⊂ L²_c ⊂ L¹_c ⊂(C⁰)⁰⊂(C^m)⁰⊂(C^m+1)⁰⊂ E⁰ ⊂ S⁰⊂ D⁰ sachant queS etS⁰ ne sont d´efinis que lorsque Ω =R^N.

6) - Montrer que 1/|x|^k,k≥1 est une distribution deR^∗ mais pas de R. Montrer queϕ7→P

i∈Iaiϕ⁽ⁱ⁾(0), I ⊂N,ai 6= 0, est une distribution deRsi, et seulement si,I est fini.

7) - Montrer les convergences suivantes au sens des distributions (ou des mesures) lorsquen→ ∞ouε→0.

a) - lim ε x

x²+ε² = 0, lim ε

x²+ε² =π δ, limsin²(nx) n x² =π δ.

b) - Sif ∈L¹(R),f ≥0,R

f(x)dx= 1, suppf ⊂R₊etvn(x) =n^N(f(n x)−f(−n x)), alors limun= 2δ⁽¹⁾. De mˆeme, lim(δ1/n−δ−1/n) = 2δ⁽¹⁾.

c) - lim cos(nx) = lim sin(nx) = 0, limsin(nx)

n x =π δ, lim ε x

(x²+ε²)² =−π 2δ⁽¹⁾.

D´efinition 1.3. D´erivation d’une distribution. On veut d´efinir une op´eration de d´erivation qui prolonge classique pour les fonction r´eguli`ere: sif ∈ E(Ω) alors∂i{f}={∂if}.

SoitT ∈ D⁰(Ω) etα∈N^N. Montrer que

ϕ 7→ (−1)^|α|hT, ∂^αϕi

d´efinit une distribution, que l’on note∂^αT. On appelle d´eriv´ee deT d’ordreαla distribution∂^αT. On note

∇T le vecteur des d´eriv´ees premi`eres.

Exercice 1.4. a) Le r´esultat ´elementaire et fondamental (le d´emontrer!) pour bien comprendre l’op´eration de d´erivation au sens des distributions est le suivant: pour toutψ∈C_c¹(R^N) et toutj ∈ {1, ... , N}on a

Z

R^N

∂ψ

∂xj dx= 0.

b) - Montrer que sif ∈C^|α|(Ω) alors{∂^αf}=∂^α{f}. Montrer que∂^αδa = (−1)^[α|δ^(α)a . c) - Montrer queT ∈ S⁰ implique∂^αT ∈ S⁰ etT ∈ E⁰ implique∂^αT ∈ E⁰.

d) - Montrer que l’applicationT 7→∂^αT est continue deD⁰ dans lui-mˆeme (deE⁰ dans lui-mˆeme, deS⁰ dans lui-mˆeme).

e) - SoitH:R→Rla fonction de Heaviside d´efinie parH(x) = 0 six≤0,H(x) = 1 six >0. Montrer que {H}⁰=δ0. Calculer les d´eriv´ees distributions def1(x) =H(x)−H(−x);f2(x) =|x|;f3(x) =x−1 six <0 etf3(x) =x+ 1 six >0. Montrer que d

dx −k

H(x)e^{k x}=δ; d² dx² +k²

H(x) sin(k x) =k δ,k6= 0.

f) - Montrer que si f : R → R est continue par morceaux, et que en notant ωi =]ai, bi[, i ∈ I ⊂ Z,

−∞ ≤ai < bi =ai+1 < bi+1 ≤+∞, la famille des (plus grands) ouverts (non vides) de Rsur lesquelsf est continue (f : ωi →R est continue et si U est un ouvert contenantωi tel que f : U → R est continue alorsU =ωi) on af ∈C¹(¯ωi) (ou seulementf ∈W^1,1(ωi)∩C(¯ωi) ou mˆemef ∈W^1,1(ωi) avec la d´efinition ci-dessous), alors

{f}⁰ ={f⁰}+X

i∈I

(f(bi)−f(ai+1)δai+1.

g) - Soit T ∈ D⁰(R). Montrer qu’il existeS∈ D⁰(R) telle queS⁰ =T. Montrer que les solutions deT⁰ = 0 dansD⁰(R) sont les constantes.

D´efinition 1.5. Espace de Sobolev. Pour 1≤p≤ ∞, on d´efinit l’espace de Sobolev d’orde 1 W^1,p(Ω) :=

f ∈L^p(Ω); ∂

∂xi{f} ∈L^p(Ω)∀i= 1, ..., N

, i.e. ∀i= 1, ..., N ∃gi∈L^p(Ω) (et on noteragi=∂iu) tel que

Z

Ω

f ∂ϕ

∂xi

=− Z

Ω

giϕ ∀ϕ∈ D(Ω).

On d´efinit de la mˆeme mani`ere W_loc^1,p(Ω) en rempla¸cant L^p par L^p_loc, et W^m,p(Ω), W_loc^m,p(Ω) les espaces de Sobolev d’ordrem∈N.

Lemme 1.6. On munitW^1,p de la norme

∀u∈W^1,p kukW^1,p =kuk^Lp+k∇uk^Lp, max(kuk^Lp,k∇uk^Lp) ou (kuk^pL^p+k∇uk^pL^p)^1/p. AlorsW^1,pest un espace de Banach. Idem pourW^m,p. Les espacesW_loc^m,p sont des espaces de Fr´echet.

Preuve du Lemme 1.6. Soit (un) une suite de Cauchy dansW^1,pet notonsula limite de (un) dansL^petgi

la limite de (∂iun) dansL^p. On a pour toutϕ∈ D(Ω) Z

Ω

giϕ= lim

n→∞

Z

Ω

(∂iun)ϕ=− lim

n→∞

Z

Ω

un(∂iϕ) =− Z

Ω

u(∂iϕ),

ce qui prouve queu∈W^1,p et∂ui=gi. tu

D´efinition 1.7. Multiplication d’une distribution par une fonction. On veut d´efinir une op´eration de mul- tiplication d’une distribution par une fonction r´eguli`ereψ∈ E(Ω) qui soit compatible avec la multiplication usuelle pour une fonction: sif ∈L¹_loc(Ω) alorsψ{f}={ψ f}.

SoitT ∈ D⁰(Ω) etψ∈ E(Ω). Montrer que

ϕ 7→ hT, ψ ϕi d´efinit une distribution, que l’on noteψ T.

Exercice 1.7. a) - On se place surR. Montrer quexVp(1/x) = 1,x δ0= 0 etx δ⁽ⁿ⁾=n δ⁽ⁿ⁻¹⁾ si n≥1.

En d´eduire x^mδ⁽ⁿ⁾= (−1)^mn(n−1)...(n−m+ 1)δ^(n−m)si 1 ≤m≤n, = 0 sim > n. Montrer enfin que dⁿ

dxⁿ

xⁿ⁻¹H(x)

(n−1)! =δ.Que peut-on g´en´eraliser `aR^N?

b) - Montrer D⁰D ⊂ E⁰, E⁰E ⊂ E⁰, S⁰S ⊂ S⁰. Montrer que dans ces espaces l’application T 7→ ψ T y est continue.

c) - Montrer que si f ∈L¹+L^∞ alors pour tout α, β on ax^α∂^βf ∈ S⁰. On appelle fonctions r´eguli`eres `a croissance lente, on note O, l’espace des fonctions ψ∈C^∞(R^N) telle que pour toutα, il existem∈ Ntel que (1 +|x|)^−m∂^αψ∈L^∞(R^N). Montrer que l’applicationf 7→ψ f est continue deS dans lui-mˆeme si, et seulement si,ψ∈ O. Montrer queS⁰O ⊂ S⁰ et que l’applicationT 7→ψ T y est continue.

d) - Trouver les solutions dex T⁰=λ T,λ∈RdansD⁰(R).

D´efinition 1.8. On dit qu’une distribution T ∈ D⁰(Ω) est d’ordre au plus m ∈ N si pour tout compact K⊂Ω, il existe une constanteCK telle que

(1) |hT, ϕi| ≤CK sup

|α|≤m

sup

x∈K|D^αϕ(x)| ∀ϕ∈ D(Ω), suppϕ⊂K.

Exercice 1.8. a) - Montrer que T ∈ D⁰(Ω) est d’ordre au plus m∈ Nsi, et seulement si, T satifait `a la propri´et´e suivante: pour toute suite (ϕn) deD(Ω) telle queϕn→0 au sens deC_c^m(Ω) alorshT, ϕni →0.

b) - Remarquer qu’une mesure et une fonction deL¹_locsont des distributions d’ordre 0. Montrer que vp(1/x) etδ₀⁰ sont des distributions d’ordre 1 (exactement). Plus g´en´eralement, montrer que siT est une distribution d’ordre au plus m ∈ N alors ∂^αT est une distribution d’ordre au plus m+|α|. Montrer que P

j δ^(j)_j est d’ordre infini.

c) - Montrer qu’une distribution d’ordre m peut ˆetre prolong´ee en une forme lin´eaire continue surC_c^m(Ω), continue au sens o`u on a l’estimation (1) pour toutϕ∈C_c^m(Ω), suppϕ⊂K. (Ind. Montrer quehT, ϕ∗ρniest de Cauchy). PourT d’ordrem, on a doncT ∈(C_c^m(Ω))⁰. On identifie d´esormais l’espace des distributions d’ordre au plus m et l’espace (C_c^m(Ω))⁰. On dit que T est d’ordre exactement m si T ∈ (C_c^m(Ω))⁰ mais T /∈(C_c^m−1(Ω))⁰.

d) - SoitT ∈ D⁰(Ω) d’ordrem et soit ψ∈C^m(Ω). Montrer que ψ T est bien d´efini comme distribution et est d’ordrem. En d’autres termes (C_c^m)⁰C^m⊂(C_c^m)⁰.

D´efinition 1.9. On dit qu’une distributionT est positive, on noteT ≥0, si pour toutϕ∈ D(Ω),ϕ≥0, on ahT, ϕi ≥0. Montrer que si Tn≥0 etTn * T dansD⁰ alorsT ≥0.

Exercice 1.9. Montrer qu’une distributionTpositive est n´ecessairement une distribution d’ordre 0; et donc T ∈M_loc¹ (Ω) = (Cc(Ω))⁰ est une mesure de Radon.

Lemme 1.10. On dit queT = 0 sur un ouvertω⊂Ω si pour toutϕ∈ D(Ω), suppϕ⊂ω, on ahT, ϕi= 0.

Soit (ωi)i une famille d’ouverts. SiT = 0 sur chaqueωi alorsT = 0 surω=∪ωi.

Preuve du Lemme 1.10. Soit K ⊂ ω compact. Il existe alors ω1, ..., ωJ tel que K ⊂ ∪ωj. Il existe donc δ > 0 tel que K ⊂ ∪ωj,3δ o`u ωj,δ := {x ∈ ωj; dist(x, ω_j^c) > δ}. En effet, cela provient du fait que la suite d´ecroissante de compactsKn :=K∩(∩^jωj,1/n)^c) est d’intersection vide (c’est K∩(∩^jωj)^c)) et donc Kn est vide pour n assez grand. Il existe alors χj ∈ D(ωj) telle que χj = 1 sur ωj,δ. On pose ψj = χj/(P

kχk) ∈ C^∞(∪ωj,δ) qui satisfait P

ψj = 1 sur ∪^jωj,δ. Soit maintenant, ϕ ∈ D(Ω), tel que suppϕ⊂K. On aψjϕ∈ D(Ω) pour toutj et (P

ψj)ϕ=ϕ, de sorte que hT, ϕi=X

j

hT, ϕ ψji= 0,

puisque suppψjϕ⊂ωj. tu

D´efinition 1.11. On appelle support de T, on note suppT, le plus petit ferm´e F tel que: pour tout ϕ∈ D(Ω), suppϕ⊂Ω\F on aithT, ϕi= 0. Montrer que siTn * T dansD⁰ et suppTn⊂F avecF ferm´e alors suppT ⊂F.

Exercice 1.11. 1) Montrer que siT ={f}avecf ∈C(Ω) alors suppT = suppf. Montrer que siT ={f} avec f ∈ L¹_loc(Ω) alors suppT = ω o`u ω est le grand ouvert tel que f = 0 p.p. sur ω. Montrer que suppδ^(α)a ={a}et que supp (vp (1/x) ) =R.

2) Montrer que si T ∈ D⁰, ψ ∈ E alors supp (ψ T) = suppT ∩suppψ (Ind. On a x0 ∈ suppT si ∀δ >0 il existe ϕδ ∈ D(B(x0, δ)) telle que hT, ϕδi 6= 0 de sorte que hψ T, ψ⁻¹ϕδi 6= 0). Montrer que si T ∈ D⁰, α∈N^N alors supp (∂^αT)⊂suppT (sans n´ecessairement avoir l’´egalit´e). Plus g´en´eralement, montrer que pour tout op´erateur diff´erentielP =P

α∈Λaα∂^α, avec Λ⊂N^N fini,aα∈ E, on a suppP T ⊂suppT. 3) Soit T ∈ D⁰. Montrer que si ϕ∈ D⁰(Ω) satisfaitϕ ≡0 sur suppT alors hT, ϕi = 0. En particulier si ϕ, ψ∈ D⁰(Ω) sont tels queϕ≡ψ sur suppT alorshT, ϕi=hT, ψi.

D´efinition 1.12. On note E(Ω) =C^∞(Ω). On dit qu’une distribution T sur Ω est continue sur E(Ω) si il existe une constanteC >0 et un entiermtels que

(2) |hT, ϕi| ≤ C sup

|α|≤m

sup

x∈Ω|D^αϕ(x)| ∀ϕ∈ E(Ω).

On noteT ∈ E⁰(Ω). Remarquer queE⁰(Ω) =S

C^m(Ω)0

.

Exercice 1.13. 1) a) - SoitT une distribution `a support compact. Montrer que T est une distribution d’ordre finim∈N. Montrer queT peut ˆetre prolong´ee en une distribution deE⁰(Ω).

b) - Montrer queE⁰(Ω) := dual deE(Ω) ={T ∈ D⁰(Ω), suppT compact}.

2) L’objectif de cet exercice est de d´emontrer que dansD⁰(R) on a ´equivalence entre (i) suppT ⊂ {0};

(ii)∃m∈N,∃λ1, ..., λmtels que T =Pm

i=1λiδ⁽ⁱ⁾₀ ; (iii)∃n∈NxⁿT = 0.

Comment g´en´eraliser `aR^N? a) - Montrer que (ii) implique (iii).

b) - Montrer que (iii) implique (i).

c) - Montrer que si suppT ⊂ {0}alors pour toutχ, ϕ∈ D(Ω), χ= 1 au voisinage de 0 on aT(ϕ) =T(χ ϕ).

d) - Montrer que pour toutϕ∈ D(Ω), a∈Ω,k∈N, il existeψk∈ E(Ω) tel que ϕ(x) =ϕ(a) + (x−a)ϕ⁰(a) +...+(x−a)^k

k! ϕ^k(a) + (x−a)^k+1ψk(x).

En particulier, siϕs’annule jusqu`a l’ordrekena, alorsϕ(x) = (x−a)^k+1ψk(x),ψk∈ D(Ω).

En d´eduire (avec l’aide de c) que (iii) implique (ii).

On suppose d´esormais que suppT ⊂ {0}. e) - Montrer queT est d’ordre fini (disonsm).

f) - Montrer que siϕs’annule jusqu’`a l’ordre m en 0 alorsT(ϕ) = 0. [Ind. On pourra consid´ererχ∈ D(Ω), χ= 1 au voisinage de 0, poserχj(x) =χ(j x) et montrer que pour tout|α| ≤m,|D^α(χjϕ)(x)| ≤C/j, puis T(χjϕ)→0].

g) - Montrer quex^mT = 0 et conclure.

En r´esum´e, on a

T ∈ D⁰ si ∀K⊂Ω compact, ∃m∈N,∃CK tel que

∀ϕ∈ D(Ω), suppϕ⊂K |hT, ϕi| ≤CKpK,m(ϕ);

T est d’ordre fini si ∃m∈N(m est l’ordre de T,i.e.T ∈(C_c^m)⁰), ∀ K⊂Ω compact,∃CK tel que

∀ϕ∈ D(Ω), suppϕ⊂K |hT, ϕi| ≤CKpK,m(ϕ);

T ∈ E⁰ si ∃K⊂Ω compact (T est `a support compact ⊂K), ∃m∈N,∃C tel que

∀ϕ∈ D(Ω) |hT, ϕi| ≤C pK,m(ϕ).

Remarquons qu’une distribution quelconque est ”localement” d’ordre fini.

Encore quelques D´efinitions 1.14. (i) Siω⊂Ω ouvert etT ∈ D⁰(Ω), on d´efinit la restrictionT|^ω∈ D⁰(ω) par∀ϕ∈ D(ω)hT|^ω, ϕi=hT, ϕi.

(ii) SiT ∈ D⁰(Ω) est `a support compactK⊂Ω, on d´efinit le prolongement ¯T ∈ D⁰(R^N) en fixantχ∈ D(Ω) χ≡1 surK(quelconque!) et en posant∀ϕ∈ D(R^N)hT , ϕ¯ i=hT, χ ϕi.

SoitT ∈ D⁰(Ω). Pour toutω ⊂⊂Ω et pour une fonction (quelconque) χ∈ D(Ω) telle que χ= 1 sur ω on d´efinit ¯T =T χ∈ D⁰(R^N). Alors ¯T|^ω=T|^ω.

(iii) Sih∈R^N etT ∈ D⁰(Ω) on d´efinit la translationτhT comme distribution surτhΩ :={x∈R^N; x+h∈ Ω}= Ω−hpar∀ϕ∈ D(τhΩ)hτhT, ϕi=hT, τ−hϕi, avec (τhϕ)(x) =ϕ(x−h). La convention est telle que τh1A=1h+A.

(iv) Soit Ω (´etoil´e par rapport `a l’origine). Si λ > 0 et T ∈ D⁰(Ω) on d´efinit la dilatation δλT comme distribution sur Ωδ :=...par∀ϕ∈ D(Ωδ)hδλT, ϕi=λ^NhT, δλ⁻¹ϕi, avec (δλϕ)(x) =ϕ(x/λ). La convention est telle queδλ1A=1λ A.

(v) Soit Ω une boule centr´ee en l’origine. PourR∈SO(n) une rotation deR^N et T ∈ D⁰(Ω) on d´efinit la rotationρRT comme distribution sur Ω par∀ϕ∈ D(Ω) hρRT, ϕi=hT, ρR⁻¹ϕi, avec (ρRϕ)(x) =ϕ(R⁻¹x).

La convention est telle queρR1A=1R A. Soit Ω invariant par rotation (une boule ou une s´erie de couronnes).

On dit queT ∈ D⁰(Ω) est invariant par rotation si∀R∈SO(R^N) on aρRT =T.

(vi) Pour T ∈ D⁰(Ω) on d´efinit le sym´etrique T comme distribution sur −Ω par hT^∨, ϕi =hT, ϕ^∨i ∀ϕ ∈ D(−Ω), avec (ϕ^∨)(x) = ( ˇϕ)(x) =ϕ(−x). La convention est telle que1^∨_A=1−A. On dit qu’une distribution T est paire (resp. impaire) siT^∨=T (resp. T^∨=−T).

Encore quelques Exercices 1.15. 1) a) - Montrer que la suite de fonction x

x²+ε² converge, quandε→0, vers Vp 1/x

et au sens des distributions temp´erees:

hVp 1 x

, ϕi= lim

ε→0

Z

R

x

x²+ε²ϕ(x)dx= lim

ε→0

Z

|x|>ε

ϕ(x)

x dx, ∀ϕ∈ S(R).

b) - Montrer que Vp(1/x) est une distribution impaire et v´erifiexVp(1/x) = 1. Montrer que c’est la seule distribution impaire v´erifiant cette ´equation. Quelles sont toute les solutions de cette ´equation?

c) - Montrer que la fonction log|x|d´efinit une distribution temp´er´ee deS⁰(R) et que sa d´eriv´ee distribution est Vp(1/x).

d) - Montrer que 1

x±i0 := lim

ε→0^±

1

x+i ε = Vp(1

x)∓i πδ.

2) a) - Soitϕ∈ S(R). Montrer quehPf 1 x²

, ϕi= lim

ε→0

Z

|x|>ε

ϕ(x)−ϕ(0)

x² dxd´efinit une distribution appell´ee Partie finie de 1/x².

b) - D´emontrer que la d´eriv´ee de Vp 1/x

est Pf 1/x² .

c) - Pour quelle valeur deα >0 peut-on d´efinir la Valeur principale dex/|x|^α, la Partie finie de 1/|x|^α dans Ret dansR^N?

c) Montrer que la fonctionnelle suivante d´efinie une distribution temp´er´ee hPf H(x)

x

, ϕi= lim

ε→0

Z

x>ε

ϕ(x)

x dx−ϕ(0) logε .

II.2 - D’avantage sur la d´erivation: formule de Stokes et solution ´elementaire pour le Laplacien.

D´efinition 2.1. On dit qu’un ouvert Ω est de classeC^k,k∈N^∗∪ {+∞}, s’il existe une fonction ”distance au bords”d∈C^k(R^N,R) telle que

Ω ={x∈R^N; d(x)<0}, ∂Ω ={x∈R^N; d(x) = 0} et ∇d(x)6= 0∀x∈∂Ω.

On appelle normale ext´erieure unitaire `a Ω enx∈∂Ω le vecteurn(x) =∇d(x)|/|∇d(x)|. Exemples 2.2. (i) Pour Ω =B_R^N(0, R), on prendd(x) = (x²−R²)/(2R).

(ii) Pour Ω = {x ∈ R^N;xN > ψ(x1, ..., xN−1)}, avec ψ : R^N−1 → R de classe C^k, on prend d(x) = ψ(x1, ..., xN−1)−xN.

Th´eor`eme 2.3 (Formule de Stokes). Soit Ω un ouvert de classeC². Il existe une mesure positive dσ sur∂Ω telle que

(2.1) ∀E ∈C_c¹(R^N;R^N) Z

Ω

divxE(x)dx= Z

∂Ω

E(y)·n(y)dσ(y).

Preuve du th´eor`eme 2.3. On proc`ede en 5 ´etapes.

Etape 1. D´efinition et approximation r´eguli`ere de T. On pose T := −P∂jd ∂j1Ω. Alors T est bien d´efinie comme distribution d’ordre 1 car c’est le produit d’une fonction de classeC<sup>1</sup> et de la d´eriv´ee d’une distribution d’ordre 0 (voir l’exercice 1.8). Soit maintenant θ ∈ C<sup>∞</sup>(R) d´ecroissante telle que θ(t) = 1 si t≤ −1,θ(t) = 0 sit≥0. Posonsθk(x) =θ(k d(x)). Deθk(x)→1Ω(x) p.p. dansR<sup>N</sup> lorsquek→ ∞et du th´eor`eme de convergence domin´ee on d´eduit queθk →1Ω au sensL¹_loc(R^N), et doncM_loc¹ (R^N) etD⁰(R^N).

PosonsTk=−P

∂jd ∂jθk∈C¹(R^N). On a alorsTk * T.

Etape 2. T est une mesure positive port´ee par ∂Ω. D’une part,T est positive puisque Tk =−X

(∂jd) (∂jd) (k θ⁰(k d) =−|∇d|²θ⁰(k d)≥0

de sorte queT = limTk ≥0 ´egalement. D’autre part, pour tout ϕ∈ D(R^N) tel que suppϕ∩∂Ω =∅on a hT, ϕi=−

XN

j=1

h ∂d

∂xj

∂

∂xj

1Ω, ϕi= XN

j=1

h1Ω, ∂j(ϕ ∂jd)i= Z

Ω

div(ϕ∇d)dx= Z

R^N

div(ϕ∇d)dx= 0,

o`u pour une fonctionψ: Ω→Ron note ¯ψla fonction d´efinie surR<sup>N</sup> par ¯ψ(x) =ψ(x) six∈Ω, ¯ψ(x) = 0 si x∈Ω<sup>c</sup>. Pour la derni`ere ´egalit´e on utilise (N fois) que pour une fonctionu∈C_c¹(R) on a

Z

R

u⁰(x)dx= 0.

On a donc suppT ⊂∂Ω.

Etape 3. Poura∈ R^N un vecteur non nul (unitaire) etT une fonction de classeC¹ ou simplement une distribution, on note∂aT =ea· ∇T avecea=a/|a|,|.|d´esignant la norme euclidienne dansR^N, la d´eriv´ee de T dans la directiona. Posonsdσ :=|∇d(x)|⁻¹T =−n· ∇1Ω =−∂n^∂ 1Ω. Cette mesure est bien d´efinie

puisque suppT ⊂∂Ω et,|∇d(x)|´etant continue et6= 0 sur∂Ω,|∇d|⁻¹est une fonction continue sur∂Ω. On a ´egalement suppdσ⊂∂Ω. Montrons que

njdσ=− ∂

∂xj1Ω dans D⁰(R^N).

En effet, pour toutϕ∈ D(R^N) on a hnjdσ, ϕi = h ∂jd

|∇d|² T, ϕi=hT, ∂jd

|∇d|² ϕi= lim

k→∞hTk, ∂jd

|∇d|²ϕi=− lim

k→∞kh|∇d|²θ⁰(k d), ∂jd

|∇d|²ϕi

= − lim

k→∞hk θ⁰(k d)∂jd, ϕi=− lim

k→∞h∂jθk, ϕi=−h∂j1Ω, ϕi. PourE∈C_c¹(R^N;R^N), on en d´eduit la formule de Stokes

Z

Ω

divE dx=h1Ω,X

j

∂jEji=h−X

j

∂j1Ω, Eji=hX

j

njdσ, Eji=hdσ, n·Ei.

Etape 4. Pour conclure, il nous faut expliquer pourquoi la notation sous forme d’int´egrale de bord dans (2.1) est justifi´ee.

Commen¸cons par montrer que dσ d´efinit une mesure de Radon sur∂Ω, i.e. dσ ∈ M_loc¹ (∂Ω) = (Cc(∂Ω))⁰. Soit en effet ϕ∈Cc(∂Ω). D’apr`es le th´eor`eme de prolongement de Tietze-Urysohnn, il existe une fonction φ∈Cb(K), avecK un compact tel que int(K) est un voisinage deL:=∂Ω∩suppϕ, telle queφ|^∂Ω=ϕ. On peut prendre, par exemple, φ(x) =ϕ(x) six ∈L et φ(x) = infy∈L[ϕ(y)d(x, y)/d(x, ∂Ω)] six ∈K\L. On note ¯φla fonction d´efinie surR^N en prolongeantφpar 0 en dehors deK. La fonctionψ:= ¯φ∗ρn∈Cc(R^N) satisfait ψ|^∂Ω = ϕ pour n assez grand. On d´efinit alors dσ⁰ ∈ Mloc(∂Ω) par hdσ⁰, ϕi = hdσ, ψi. Cette d´efinition ne d´epend pas bien sˆur de la construction deψpuisque suppdσ⊂∂Ω.

L’´etape suivante est d’utiliser le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz (ou Radon-Riesz, ou Markov-Riesz) qui affirme (entre autres) que toute forme lin´eaire positive Λ de Cc(∂Ω) (cela signifie Λ :Cc(∂Ω)→Rest lin´eaire et ∀ϕ∈Cc(∂Ω) telle queϕ≥0 alorshΛ, ϕi ≥0) s’identifie avec une mesure bor´elienne λpositive σ-finie sur ∂Ω (celle du cours d’int´egrale de Lebesgue: λest une ”mesure ensembliste” d´efinie sur la tribu bor´elienne de ∂Ω (pour la topologie induite par la norme euclidienne de R^N) et finie sur les compacts de

∂Ω) de la mani`ere suivante:

∀ϕ∈Cc(∂Ω) hΛ, ϕi= Z

∂Ω

ϕ dλ.

En notant encore dσ la ”mesure bor´elienne” associ´ee `a la ”mesure de Radon” dσ⁰ on obtient le r´esultat

escompt´e. tu

Exercice 2.4. (i) Montrer que la normale ext´erieuren ne d´epend pas de la fonction distance dchoisie dans la d´efinition du fait que Ω est de classeC². [Ind. On pourra montrer que ”localement” Ω est toujours de la forme de l’exemple (ii) ci-dessus]. En d´eduire quedσ ne d´epend pas du choix ded.

(ii) Supposons que Ω est de la forme de l’exemple (ii) ci-dessus avecψ∈C²(R^N−1). Etablir l’identit´e Z

∂Ω

ϕ dσ= Z

R^N−1

ϕ(x⁰, ψ(x⁰))p

1 +|ψ(x⁰)|²dx⁰. En d´eduire que pour tout ouvert de classeC² on a suppdσ=∂Ω.

(iii) Soitχ∈C¹(R^N) telle queχ≡1 sur un voisinage de∂Ω etχ≡0 sur un voisinage de{x∈R^N; ∇d(x) = 0}. On d´efinitn(x) :=χ(x)∇d(x)/|∇d(x)| ∈C¹(R^N). Montrer que

(2.2) ∀ϕ∈C_c¹(R^N)

Z

∂Ω

ϕ(σ)dσ= Z

Ω

div(ϕ(x)n(x))dx.

(iv) Montrer quedσ= limε⁻¹1{−ε<d<ε} (lorsque l’on a normalis´edde sorte que|∇d|= 1 sur∂Ω?).

Applications 2.5.

•Si Ω =]0,1[, on prendd(x) =x(x−1) de sorte quen(0) =−1,n(1) = 1,dσ =δ0+δ1 et on retrouve la formule usuelle de l’int´egrale de la d´eriv´ee d’une fonction (”formule fondamentale du calcul int´egral”).

•Si Ω =B_R^N(0, R) alors on prendd(x) =R²− |x|² de sorte quen(x) =x/R. La mesure associ´eedσR sur

∂Ω =S^N−1_R est la mesure de Lebesgue port´ee parS_R^N−1. Elle v´erifie les propri´et´es suivantes:

(i)homoth´etie : dσR se d´eduit dedσ1=dω par la relation:

∀R >0, ∀ϕ∈C(S₁^N−1) Z

S_R^N−1

ϕ dσR=R^N−1 Z

S^N−1

ϕRdω, ϕR(x) =ϕ(R x).

En particulier, mes(SR) =R^N−1mes(S1).

(ii)invariance par rotation : dω est invariante par rotation:

∀R∈SO(R^N), ∀ϕ∈C(S₁^N−1) Z

S^N−1

ϕ◦R dω= Z

S^N−1

ϕ dω.

En particulier, supp (dω) =S^N−1.

(iii) On a le lien suivant entre int´egrale de volume et int´egrale de surface: pour toute fonctionϕ∈C(BR) d

dR Z

BR

ϕ dx= lim

ε→0

1 ε Z

R<|x|<R+ε

ϕ dx= Z

SR

ϕ dσR et Z

BR

ϕ dx= Z R

0

Z

Sr

ϕ dσrdr.

(iv) Il est habituel de d´efinir la mesure de surface ˜ω surS^N−1induite par la mesure de LebesgueλdansR^N de la mani`ere suivante. Pour toutAbor´elien deS^N−1on d´efinitCA={t x, x∈A, t∈[0,1]}le bor´elien de R^N et ˜ω(A) =λ(CA). V´erifier queω= ˜ω.

Preuve des propri´et´es de la mesure uniforme sur la sph`ere. On d´emontre les propri´et´es pourϕ∈C¹(R^N) en utilisant la formule de Stokes, puis on g´en´eralise par densit´e.

(i) En posantx=r y, on a y· ∇^y(ϕr(y)) =x·(∇ϕ)(x). On en d´eduit Z

Sr

ϕ dσr = Z

Br

divx(x

rϕ)dx=r⁻¹ Z

Br

(x· ∇^xϕ+N ϕ)dx

= r^N−1 Z

B1

(y· ∇^yϕr(y) +N ϕr(y))dy=r^N−1 Z

B1

divy(y ϕr)dy=r^N−1 Z

S1

ϕrdσ1. (ii) On remarque quex· ∇(ϕ◦R) = (R x)·(∇ϕ)(R x) [c’est juste∇=D^t et D(ϕ◦R) = (Dϕ)◦R DR]. On en d´eduit en posantx=R y

Z

S1

ϕ◦R dω= Z

B1

(x· ∇^x(ϕ◦R) +N ϕ◦R)dx= Z

B1

(y· ∇^yϕ(y) +N ϕ(y))dy= Z

S1

ϕ dω.

(iii) On a d’une part avec les notations de (i) d

dR Z

BR

ϕ dx= d dR

R^N

Z

B1

ϕRdx

=R^N Z

B1

d

dRϕRdx+N R^N−1 Z

B1

ϕRdx.

Or _dR^d ϕR(x) =x·(∇ϕ)(R x). On en d´eduit d

dR Z

B_R

ϕ dx=R^N−1 Z

B₁

[(x· ∇ϕ)R+N ϕR]dx= Z

R

div(ϕ x/R)dx= Z

S_R

ϕ dσR.

•SoitOun ouvert (de classeC²) et notonsdO,nOetdσO la distance au bord, la normale unitaire ext´erieure et la mesure de surface du bord associ´ees et d´efinie au th´eor`eme 2.3. Alors pour tout ouvert Ω (de classe C<sup>2</sup>) on peut prendredΩ¯c =−dΩ, de sorte que nΩ¯c =−nΩ, et enfin dσ<sub>Ω</sub>c =dσΩ puisque pour toute fonction ϕ∈C<sub>c</sub><sup>1</sup>(R<sup>N</sup>), d’apr`es l’exercice 1.4.a,

Z

∂Ω

ϕ dσ_Ω = Z

Ω

divx(nΩϕ)dx=− Z

Ω^c

divx(nΩϕ)dx= Z

Ω^c

divx(nΩ^cϕ)dx= Z

∂(Ω^c)

ϕ dσ_Ωc = Z

∂Ω

ϕ dσ_Ωc.

•Formule de Green. En prenantE=u∇v puisE=v∇uavecu, v∈C²( ¯Ω) on obtient Z

Ω∇u· ∇v+u∆v= Z

∂Ω

u∂v

∂ndσ

et Z

Ω

(u∆v−v∆u) = Z

∂Ω

(u∂v

∂n−v∂u

∂n)dσ.

•Solution ´el´ementaire du Laplacien. On a

−∆ 1

|x|^N−2 = (N−2) mes(S^N−1)δ0 au sens D⁰(R^N).

On commence par remarquer que ∂i|x| = xi/|x|, ∂i|x|^a = a xi|x|^a−2 puis ∂²_ij|x|^a = a δij|x|^a−2+a(a− 2)xixj|x|^a−4et donc

∆|x|^a =|x|^a−2 X

i

(a+a(a−2)x²_i|x|⁻²) =a|x|^a−2(N+a−2) = 0 dans R^N\{0}

si, et seulement si,a= 2−N. Pour effectuer le calcul dansR^N, on remarque que|x|^2−N ∈L¹_loc(R^N) de sorte que la premi`ere identi´e qui suit est vraie au sens des distributions dansR<sup>N</sup>, la seconde r´esulte du th´eor`eme de convergence domin´ee et la troisi`eme est la seconde formule Green pr´esent´ee ci-dessus (ainsi que le fait que ∆|x|^2−N = 0 dansR^N\{0}):

h∆ 1

|x|^N−2, ϕi = h 1

|x|^N−2,∆ϕi= lim

ε→0

Z

B_ε^c

∆ϕ(x)

|x|^N−2dx= lim

ε→0

Z

∂(B_ε^c)

(ϕ∂|x|^2−N

∂n − |x|^2−N ∂ϕ

∂n)dσε, o`u n(x) = −n(Bε)<sup>c</sup> =x/|x| d´esigne la normale ext´erieure `a Bε. Pour la premi`ere int´egrale, on a grˆace `a

∂

∂n|x|=n· ∇|x|= (x/|x|)·(x/|x|) = 1 surS_ε^N−1 Z

Sε

ϕ∂|x|^2−N

∂n dσε= (2−N) Z

Sε

ϕ|x|^1−Ndσε= (2−N) Z

S1

ϕ(ε ω)dω −→_ε→0(2−N)ϕ(0) Z

S1

dω.

Pour la seconde int´egrale, on a

− Z

Sε

|x|^2−N∂ϕ

∂ndσε=−ε Z

S1

∂ϕ

∂n(ε ω)dω −→_ε→0 0.

II.3 - Autours de la convolution.

Commen¸cons par quelques r´esultats g´en´eraux

Lemme 3.1. (Interversion de la dualit´e, de la d´erivation et de l’int´egration). SoitOun ouvert deR^M.

(i) SoientT ∈ D⁰(Ω) etϕ =ϕ(x, y)∈ C(Ω× O) qui satisfait ∂_x^αϕ∈ C^k(Ω× O) pour tout α∈N^N et un certaink∈N∪ {+∞}fix´e et pour touty∈ Oil existeδy >0 etKy⊂Ω compact tels que suppϕ(., y⁰)⊂Ky

∀y⁰∈B_R^M(y, δy). Alorsy7→ hT, ϕ(., y)i ∈C^k(O) et pour tout β∈N^M,|β| ≤k, pour toutL⊂ O compact on a

(3.1) ∂^βhT, ϕ(., y)i=hT,(∂_y^βϕ)(., y)i et Z

LhT, ϕ(., y)idy=hT, Z

L

ϕ(., y)dyi. Si de plusϕ∈Cc(Ω× O) on ay7→ hT, ϕ(., y)i ∈C_c^k(O) et on peut prendreL=O. Preuve du Lemme 3.1. D’une part, pour touty ∈ O, 1≤i≤M, on a

t⁻¹(ϕ(., y+t ei)−ϕ(., y+t ei) = Z 1

0

∂ϕ

∂ei

(, y+t s ei)ds−→_t→0 ϕ(, y) dans D(Ω),

et doncG(y) =hT, ϕ(., y)iest d´erivable au sens de Gˆateaux,∇^yG=hT,∇^yϕ(., y)i. On obtient le premier r´esultat par it´eration des d´erivations.

D’autre part, pour toute partition (ωⁿ_k)1≤k≤n deO, i.e. ω_kⁿ ouverts disjoints pourk= 1, ..., n,O=∪ⁿk=1ω¯ⁿ_k, y_kⁿ∈ωⁿ_k,sup1≤k≤n∆ⁿ_k →0 lorsquen→ ∞, ∆ⁿ_k = diam(ω^k_i) on a

Z

OhT, ϕ(., y)idy= lim

n→∞

Xn

k=1

∆ⁿ_khT, ϕ(., y_kⁿ)i=hT, lim

n→∞

Xn

k=1

∆ⁿ_kϕ(., y_kⁿ)i=hT, Z

O

ϕ(., y)dyi,

puisque les int´egrales qui inteviennent sont des int´egrales de Riemann pour des fonctions uniform´ement

continues. tu

Exercice 3.1. a) - Soient ϕ = ϕ(x, y) ∈ D(Ω× O) et Tn * T dans D⁰(Ω). Montrer hTn, ϕ(., y)i → hT, ϕ(., y)idansD(O^y). Montrer de mˆeme que siϕn→ϕdansD(Ω× O) etT ∈ D⁰(Ω) alorshT, ϕn(., y)i → hT, ϕ(., y)idansD(O^y).

b) - G´en´eraliser a) au cadre du Lemme 3.1.

Corollaire 3.2. (Lemme fondamental du calcul int´egral). Soit T ∈ D⁰(Ω). Pour tout ϕ ∈ D(Ω) et x∈B(0, δϕ),δϕ:= dist(suppϕ,Ω^c), on a

(3.3) hT, ϕxi − hT, ϕi=

Z 1

0 hx· ∇T, ϕtxidt,

o`u pour une fonctionψet un vecteury on noteψy:=τyψ. En particulier, pouru∈W_loc^1,1(Ω), on a (3.4) ∀x∈R^N u(y+x)−u(y) =

Z 1 0

x· ∇u(y+t x)dt pour p.t. y∈Ωex= \

0≤t≤1

τt xΩ.

Preuve du Corollaire 3.2. Commen¸cons par d´emontrer (3.3). On a, grˆace au lemme 3.1 et au lemme fondamental du calcul int´egral pour les fonctions r´eguli`eres que pour toutϕ∈ D(Ω) et toutx∈B(0, δϕ)

Z 1

0 hx· ∇T, ϕtxidt=hT, Z 1

0

(−x)· ∇ϕtxdti=hT, ϕx−ϕi, o`u on a utilis´e que (−x)·(∇ϕ)tx(y) = _dt^d[ϕ(x−t x)] pour touty∈Ω ett∈(0,1) .

LorsqueT ={u}avecu∈W_loc^1,1(Ω), on a donc par changement de variables et th´eor`eme de Fubini Z

Ω

u(y+x)ϕ(y)dy = Z

Ω

u(z)ϕx(z)dz= Z

Ω

u(z)ϕ(z)dz+ Z 1

0

Z

Ω

u(z) (−x)· ∇ϕ(z−t x)dzdt

= Z

Ω

u(y) +

Z 1 0

x· ∇u(y+t x)dt

ϕ(y)dy.

On conclut grˆace au lemme 1.1 (iii) tu Nous cherchons une d´efinition de la convolution au sens des distributions compatible avec celle d´efinie pour des fonctions. Soientf ∈L¹_loc(Ω) etg, ϕ∈ D(Ω) et prenons Ω =R^N pour ne pas discuter des domaines de d´efinition. D’une part, par d´efinition de la convolution, on a pour toutx∈Ω

(3.8) x7→(f∗g)(x) =

Z

R^N

f(y)g(x−y)dy=h{f}, τx(g^∨)i ∈C^∞(Ω).

D’autre part, par Fubini, on a (3.9) h{f ∗g}, ϕi=

Z

R^N

(f∗g)(x)ϕ(x)dx= Z

R^N

f(y) (g^∨∗ϕ)(y)dy=h{f}, g^∨∗ϕi.

Nous allons d´efinir ci-dessous la convolution `a partir des deux identit´es pr´ec´edentes. Toutefois, il est courant de d´efinir la convolution `a partir d’une troisi`eme expression qui fait intervenir le produit tensoriel de distri- butions. Nous renvoyons cette d´efinition `a plus tard, mais nous pr´esentons ci-dessous le calcul qui permettra de motiver cette trois`eme d´efinition. Par le th´eor`eme de Fubini et changement de variable, on a

(3.10) h{f∗g}, ϕiR^N = Z

R^N

Z

R^N

f(x)g(z−x)ϕ(z)dxdz= Z

R^N

Z

R^N

f(x)g(y)ϕ(x+y)dxdy=h{f⊗g},ϕ˜iR^2N, o`u le produit tensoriel des fonctionsf etg est d´efini par (f ⊗g)(x, y) =f(x)g(y) et ˜ϕ(x, y) =ϕ(x+y).

D´efinition-Proposition 3.4. Soient T ∈ D⁰(Ω), ϕ∈ D(Ω), Ω =R^N. On d´efinit la convolution deT et ϕ comme fonction par

(3.11) (T∗¹ϕ)(x) =hT, τxϕ^∨i ∀x∈R^N. On d´efinit la convolution deT etϕcomme distribution par

(3.12) hT∗²ϕ, ψi=hT, ϕ^∨∗ψi ∀ψ∈ D(Ω).

AlorsT∗¹ϕ∈C^∞(Ω),∂^α(T∗¹ϕ) =T∗¹(∂^αϕ)∀α,T∗²ϕ∈ D⁰(Ω) et∗¹et∗²co¨ıncident: {T∗¹ϕ}=T∗²ϕ, ou encore il y a”permutation de la convolution et de la dualit´e”

(3.13) h{T∗¹ ϕ}, ψi= Z

ΩhT, τxϕ^∨iψ(x)dx=hT, Z

Ω

(τxϕ^∨)ψ(x)dxi=hT, ϕ^∨∗ϕi ∀ψ∈ D(Ω) ouL¹_c(Ω).

On noteT∗ϕ=T∗¹ϕ=T∗²ϕ. Enfin donc,

(3.14) ∂^α(T∗ϕ) =T∗(∂^αϕ) = (∂^αT∗ϕ) ∀α∈N^N Remarques 3.5. a) - On montre que

D⁰?D ⊂ E; S⁰?S ⊂ E; E⁰?E ⊂ E; E⁰?D ⊂ D.

b) - Si Ω 6=R^N, T ∈ D⁰(Ω), ϕ ∈ D(Ω) alorsT ∗ϕ est d´efinie surO^ϕ ={x ∈ Ω; suppτxϕ ⊂Ω}= {x ∈ Ω; suppϕ⊂τxΩ}. Autrement dit, siω est un ouvert tel que ¯ω ⊂Ω, alorsT ∗ϕest d´efinie surω pour tout T ∈ D⁰(Ω) et toutϕ∈ D(R^N) telle que suppϕ⊂B(0, δ), δ = dist(¯ω,Ω^c)>0. Cela doit ˆetre possible de faire un argument de prolongement et de d´efinir la convolution par l’expressionT∗ϕ= ¯T∗ϕo`u ¯T ∈ D⁰(R^N) est d´efinie dans la d´efinition 1.14.(ii).

c) - Soient T et S deux distributions. On d´efinit la convolution de T et S comme distribution, d`es que l’expression de droite a un sens:

(3.15) hT ? S, ϕi:=hT, S^∨? ϕi ∀ϕ∈ D.