E140. Une suite trentenaire Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Q1. A partir des relations

E140. Une suite trentenaire

Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin

Q1. A partir des relations 𝑓(0) = 0, 𝑓(2𝑛) = 𝑓(𝑛), 𝑓(2𝑛 + 1) = 1 − 𝑓(𝑛), déterminer 𝑓(2020).

Q2. Déterminer le nombre d’entiers 𝑛 de 0 à 2020 tels que 𝑓(𝑛) = 0.

Q3. Soit 𝑁 = (2²⁰²⁰– 1)². Calculer 𝑓(𝑁).

Source : concours général de mathématiques 1990

Solution

Théorème 1

On note 𝑏(𝑛) le nombre de 1 dans l’écriture de 𝑛 en base 2. On a, pour tout 𝑛 ≥ 0 :

𝑓(𝑛) = {0 si 𝑏(𝑛) pair

1 si 𝑏(𝑛) impair= 𝑏(𝑛) 𝑚𝑜𝑑 2 Preuve par récurrence

La propriété est vraie au rang 0 car 𝑓(0) = 0 et 𝑏(0) = 0.

Supposons la propriété vraie pour tout rang 𝑘 < 𝑛, montrons que la propriété est alors vraie au rang 𝑛.

On procède par disjonction de cas selon la parité de 𝑛. On note ∥ l’opérateur de concaténation en base 2.

• Si 𝑛 = 2𝑘

𝑏(𝑛) = 𝑏(2𝑘) = 𝑏(𝑘 ∥ 0) = 𝑏(𝑘)

𝑓(𝑛) = 𝑓(2𝑘) = 𝑓(𝑘) = 𝑏(𝑘) 𝑚𝑜𝑑 2 = 𝑏(𝑛) 𝑚𝑜𝑑 2

• Si 𝑛 = 2𝑘 + 1

𝑏(𝑛) = 𝑏(2𝑘 + 1) = 𝑏(𝑘 ∥ 1) = 𝑏(𝑘) + 1

𝑓(𝑛) = 𝑓(2𝑘 + 1) = 1 − 𝑓(𝑘) = 1 − (𝑏(𝑘) 𝑚𝑜𝑑 2) = (𝑏(𝑘) + 1) 𝑚𝑜𝑑 2 = 𝑏(𝑛) 𝑚𝑜𝑑 2

Théorème 2

On note 𝐸𝛿(𝐼) ≔ {𝑘 ∈ 𝐼 ∶ 𝑓(𝑘) = 𝛿}. On a, pour tout 𝑛 ≥ 1 et tout 𝛿 ∈ {0,1} : 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐸𝛿([0,2𝑛[) = 𝑛

Preuve

𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐸𝛿([0,2𝑛[) = 𝐶𝑎𝑟𝑑 {𝑘 ∈ [0, 2𝑛[ ∶ 𝑓(𝑘) = 𝛿}

= 𝐶𝑎𝑟𝑑 {𝑘 ∈ [0, 2𝑛[ ∶ 𝑘 pair et 𝑓(𝑘) = 𝛿} + 𝐶𝑎𝑟𝑑 {𝑘 ∈ [0, 2𝑛[ ∶ 𝑘 impair et 𝑓(𝑘) = 𝛿}

= 𝐶𝑎𝑟𝑑 {𝑘 ∈ [0, 𝑛[ ∶ 𝑓(2𝑘) = 𝛿} + 𝐶𝑎𝑟𝑑 {𝑘 ∈ [0, 𝑛[ ∶ 𝑓(2𝑘 + 1) = 𝛿}

= 𝐶𝑎𝑟𝑑 {𝑘 ∈ [0, 𝑛[ ∶ 𝑓(𝑘) = 𝛿} + 𝐶𝑎𝑟𝑑 {𝑘 ∈ [0, 𝑛[ ∶ 𝑓(𝑘) = 1 − 𝛿}

= 𝐶𝑎𝑟𝑑 {𝑘 ∈ [0, 𝑛[ ∶ 𝑓(𝑘) = 𝛿 ou 1 − 𝛿}

= 𝐶𝑎𝑟𝑑 {𝑘 ∈ [0, 𝑛[ } = 𝑛

Applications numériques

Q1. 𝑏(2020) = 𝑏(11111100100₂) = 7 ⟹ 𝑓(2020) = 1

Q2. 𝑓(2020) = 1 ⇒ 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐸0([0,2020]) = 𝐶𝑎𝑟𝑑 𝐸₀([0,2020[) = 1010 Q3. 𝑁 = (2²⁰²⁰– 1)²= 2²⁰²¹(2²⁰¹⁹− 1) + 1

𝑁 = 11 … 11⏟

2019

00 … 00

⏟

2020

1 ₂ 𝑏(𝑁) = 2020 ⇒ 𝑓(𝑁) = 0