E140 - Une suite trentenaire

Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin

Q₁ A partir des relations f(0) = 0, f(2n) = f(n), f(2n + 1) = 1 − f(n), déterminer f(2020).

Q₂ Déterminer le nombre d’entiers n de 0 à 2020 tels que f(n) = 0 Q₃ Soit N = (2²⁰²⁰ – 1)². Calculer f(N)

Q1 : f(2020)=f(1010)=f(505)=1-f(252)=1-f(126)=1-f(63)=f(31)=1-f(15)=f(7)

=1-f(3)=f(1)=1-f(0), donc f(2020)=1

Q2 : La suite ne prend que les valeurs 0 et 1, et f(2n)+f(2n+1)=1 : elle prend donc n+1 fois la valeur 0 entre 0 et 2n+1 ; comme f(2020)=1, il y a 1010 entiers pour lesquels la suite f(n) s’annule entre 0 et 2020.

Q3 : N=2⁴⁰⁴⁰-2²⁰²¹+1=2(2²⁰²⁰(2²⁰¹⁹-1))+1 , donc f(N)=1-f(2²⁰²⁰(2²⁰¹⁹-1))=1-f(2²⁰¹⁹-1) Or 2ⁿ-1=2(2^n-1-1)+1 donc f(2ⁿ-1)=1-f(2^n-1-1)=f(2^n-2-1) donc pour les puissances impaires f(2^2k+1-1)=f(2^2k-1-1)= ... =f(1)=1

Donc f(N)=0.

E140 - Une suite trentenaire