Une suite r´ ecurrente

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Une suite r´ ecurrente

Etant donn´´ ex₀∈R, on d´efinit par r´ecurrence la suite (x_n) d’it´eratriceT :x7→x²+x.

1 On consid`ere deux suites (an)∈R^Net (bn)∈(R^∗+)^N. Pour toutn∈N, on noteAn =

n

X

k=0

aketBn =

n

X

k=0

bk. On suppose que lim

n Bn= +∞.

a Montrer que sia_n= o(b_n), alorsA_n= o(B_n).

Indication :fixerε >0, consid´erer un rang N₀`a partir duquel|a_n|6 ^ε2b_n puis, en s´eparant la sommeA_n en deux, montrer que

A_n B_n

6ε`a partir d’un certain rang.

b En d´eduire que sian∼bn, alors,An ∼Bn. 2On suppose ici quex0∈]−1,0[.

a Montrer que (xn) tend vers 0, et que les suites (xn) et (xn+1) sont ´equivalentes.

b Trouver une suite constante (bn) ´equivalente `a la suite d´efinie paran =_x⁻¹

n+1+_x¹

n pour toutn∈N. c En appliquant la question 1.b aux suites de la question pr´ec´edente, trouver une suite num´erique classique

´equivalente `a la suite (xn).

3On suppose icix0∈R^∗+.

a Montrer que (xn) est `a termes strictement positifs et tend vers +∞.

b On consid`ere la suite de terme g´en´eralyn = 2⁻ⁿlnxn. Montrer que pour tout entier natureln

0< y_n+1−y_n 62⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ xn

.

c En d´eduire que pour tous n, m∈N:

0< yn+m+1−yn62⁻ⁿ xn

d En d´eduire que (yn) converge vers un r´eel strictement positifλ, et que pour toutn∈N:

0< λ−2⁻ⁿlnxn 62⁻ⁿ x_n . e Montrer quex_n ∼e^λ(2n).

4Si x0∈]/ −1,0[∪R^∗+, d´eterminer si la suite (xn) admet une limite (et la donner, le cas ´ech´eant).