DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
R´ eduction et suites r´ ecurrentes lin´ eaires
Partie A – Produit de matrices diagonales par blocs
Soitp, qdes entiers naturels non nuls,n=p+q. On consid`ere deux matrices carr´eesA= (ai,j) etB = (bi,j) de taillen. On suppose que
A=
A1 0p,q
0q,p A2
et B=
B1 0p,q
0q,p B2
,
o`uA1et B1 (resp.A2et B2) sont des matrices carr´ees de taillep(resp.q).
A.1Montrer que
AB=
A1B1 0p,q 0q,p A2B2
A.2En d´eduire que pour toutn∈N:
An =
An1 0p,q
0q,p An2
A.3Calculer
−3 0 0
0 2 1
0 0 2
n
, pour toutn∈N.
Partie B – Calcul de puissances d’une matrice par changement de base
Soitf l’endomorphisme deR3 de matriceA=
0 1 0
0 0 1
−12 8 1
dans la base canoniqueBdeR3.
B.1Soitv1 = (1,−3,9), v2 = (1,2,4) etv3 = (0,1,4). Montrer queB0 = (v1, v2, v3) est une base deR3, et calculer l’inverse deP =MB(B0).
B.2Exprimer la matriceB def dansB0 en fonction deP et deA.
B.3CalculerB.
B.4En d´eduireAn, pour toutn∈N.
Partie C – Application ` a une suite r´ ecurrente
On consid`ere la suite (un)n∈
Ndonn´ee paru0,u1,u2, et la relation de r´ecurrence : un+3=un+2+ 8un+1−12un,
pour toutn∈N.
C.1Trouver une matriceC telle que, pour toutn∈N:
un+1 un+2
un+3
=C
un un+1
un+2
.
C.2En d´eduire, pour toutn∈N, l’expression deun en fonction de u0,u1,u2 etn.
