E140 - Une suite trentenaire
1. f(2020) =f(1010) =f(505) = 1−f(252) = 1−f(126) = 1−f(63) = 1−(1−f(31)) =f(31)
= 1−f(15) = 1−(1−f(7)) =f(7) = 1−f(3) = 1−(1−f(1)) =f(1) = 1−f(0) = 1 2. Considérons l’écriture en binaire du nombre entiern.
f(n) = 0 si et seulement si l’écriture en binaire de l’entierncontient un nombre pair de 1.
Considérons d’abord l’ensemble des entiersncompris entre 0 et 2 047 (nous supprimerons ensuite tous les cas entre 2 021 et 2 047) : leur écriture en binaire est un nombre à 11 chiffres (commençant éventuellement par des zéros si ce nombre est inférieur à 1024).
Parmi les nombres en binaire à 11 chiffres, combien y en a-t-il qui s’écrivent avec un nombre pair de 1 ?
Réponse :
11
0
+
11
2
+
11
4
+
11
6
+
11
8
+
11
10
= 1 + 55 + 330 + 462 + 165 + 11 = 1024
C’est d’ailleurs clair par symétrie des coefficients binomiaux et en sachant que la somme de tous les coefficients binomiaux
11
k
est égale à211= 2048.
Ne reste qu’à retirer les nombres dont l’écriture binaire comporte un nombre pair de 1 parmi les entiers de 2021 à 2047, c’est-à-dire : 2021, 2022, 2025, 2026, 2028, 2031, 2033, 2034, 2036, 2039, 2040, 2043, 2045, 2046.
Il y a donc1024−14 = 1010antécédents de 0 entre0 et2020.
3. N = 22020−12
= 24040−22021+ 1
Ecrit en binaire,N est donc : deux-mille-dix-neuf1, suivis de deux-mille-vingt0, suivis d’un1.
N comporte donc un nombre pair de 1 :f(N) = 0.
