T9 – Etude de suite + suite auxiliaire
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ETUDE DE SUITE & SUITE AUXILIAIRE 1
On considère la suite ( ) ℕ définie par = 3 et ∀ ℕ, =
= ( ) avec ( ) = 1. Etude rapide de la fonction
a) Étudier les variations de la fonction sur [0, +∞[
b) Résoudre ( ) = sur [0, +∞[
2. Conjectures graphiques
a) Représenter , , sur la figure ci-dessous
b) Conjecturer la monotonie et la convergence de la suite ( )
3. Démonstrations
a)Étudier la monotonie de ( )
b) Démontrer que pour tout , ≥ :
4. Etude en utilisant une suite auxiliaire On introduit alors la suite auxiliaire ( ) définie par ∀ ℕ,
= !
a) Montrer que la suite ( ) est géométrique.
b) Expliciter alors en fonction de puis un en fonction de . En déduire la convergence de la suite ( ) et donner sa limite
