En déduire une suite équivalente à 2nn n∈N

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MPSI B Année 2016-2017. DM 17 pour le 23/06/17 29 juin 2019

Ce problème porte sur les nombres de Catalan dénis ici par récurrence par les relations C0= 1, ∀n∈N, Cn+1=

n

X

i=0

CiC_n−i

Cette notationC_n sera valable dans tout le problème.

Partie I. Boîte à outils.

1. Calculer

C₁, C₂, C₃, C₄, H₂=

C₀ C₁ C₁ C₂

H₃=

C₀ C₁ C₂ C₁ C₂ C₃ C₂ C₃ C₄ 2. On admet ici la formule de Stirlingn!∼√

2π nⁿe⁻ⁿ√ n. En déduire une suite équivalente à ²ⁿ_n

n∈N.

3. Soitpet qréels strictement positifs tels quep+q= 1. a. Montrer que4pq≤1. Dans quel cas a-t-on l'égalité ? b. Montrer que

1−p

1−4pq= 2 min(p, q) 4. Pourk∈N, on posewk=R^π₂

0 cos^2kt dt. a. Préciserw0.

b. Montrer que2kwk = (2k−1)wk−1 pourk≥1. c. Montrer que

w_k= π 2

2k k

4^−k

Partie II. Marches sur N.

Soitl ∈ N, une marche sur Nde longueur l est une famille(a₀, a₁,· · ·, a_l) de nombres naturels tels que

a₀= 0, ∀i∈J0, l−1K:|ai+1−a_i|= 1(on noteraα_i=a_i+1−a_i )

Un circuit de longueurlest une marche (a0, a1,· · ·, al)telle queal= 0. Un circuit est dit strict lorsqueak 6= 0pour tous lesk∈J1, l−1K.

Pour n∈ N, on note cn le nombre de circuits de longueur 2n et c⁰_n le nombre de circuits stricts de longueur2n.

1. Soit(a0, a1,· · ·, al)une marche surN. Montrer que

al=Nombre de αi égaux à 1− Nombre de αi égaux à−1 En déduire que la longueur d'un circuit est toujours paire.

2. Préciserc₀,c₁,c⁰₁, c⁰₂, . Montrer quec⁰_n =c_n−1pour n≥1.

3. Soitn≥1 etk∈J1, n−1K. On considère les circuits(a0, a1,· · ·, a2n)tels que

a_2k = 0eta_i6= 0 pour0< i <2k

a. Exprimer le nombre de ces circuits avec unc et unc⁰ puis avec deuxc. b. Exprimercn comme une somme dec. En déduire que, pour toutn∈N^∗,

cn =Cn, c⁰_n=C_n−1

Partie III. Développements et série génératrice.

Dans cette partie, on notef la fonction dénie dans[0,1[parf(x) =√ 1−x. 1. Soitnnaturel supérieur ou égal à 1, montrer que

∀t∈[0,1[, f⁽ⁿ⁾(t) =−(n−1)!

2²ⁿ⁻¹

2n−2 n−1

(1−t)¹²⁻ⁿ

2. Développement limité.

a. Montrer quef admet en0 le développement limité suivant à un ordren≥1 f(x) =√

1−x=a₀+a₁x+· · ·+a_nxⁿ+o(xⁿ) aveca₀= 1eta_n=− 2

4ⁿn

2n−2 n−1

pour n≥1

b. Montrer que, pourn≥2entier naturel,

n

X

k=0

akan−k = 0

3. Développement en série.

a. Rappeler sans démonstration la formule de Taylor avec reste intégral appliquée à f entre0 etx∈[0,1[. Le reste intégral sera notér_n(x).

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M1617E

(2)

b. Montrer que pour0≤t≤x <1 :

0≤x−t 1−t ≤x

c. Montrer que, pourx∈[0,1[, la suite(rn(x))_n∈Nconverge vers0. d. Montrer que, pourx∈[0,1[, la sérieP

anxⁿ est convergente avec X

n≥0

a_nxⁿ =√ 1−x

4. On dénit une fonctionϕdans]0,¹₄[par :

∀y∈]0,1

4[, ϕ(y) =1−√ 1−4y 2y

a. Montrer que ϕ se prolonge par continuité en 0. On note encore ϕ la fonction prolongée. Préciser la valeurϕ(0).

b. Exprimer, pourn∈N, des coecientsc_n en fonction desa_n pour que

∀y∈[0,1

4[, ϕ(y) =X

n≥0

c_nyⁿ

5. Montrer que, pour tout entiern≥2et touty∈[0,¹₄[, cn =Cn= 1

n+ 1 2n

n

, 1−√ 1−4y

2y =X

n≥0

Cnyⁿ

Partie IV. L'espoir du retour.

Soitl∈Net p, qdes réels strictement positifs tels quep+q= 1.

On noteM_l l'ensemble des marches surNde longueur l. On dénit, pourk entier entre1 etl−1 des fonctionsA_k etD_k :

Ak((a0, a1,· · · , al)) =ak, Dk((a0, a1,· · · , al)) =ak+1−ak

On probabilise l'ensembleMl en dénissant une fonction pà l'aide de probabilités condi- tionnelles :

p_|A_k₆₌₀(D_k = 1) =p p_|A_k₆₌₀(D_k=−1) =q p_|A_k₌₀(Dk = 1) = 1 p_|A_k₌₀(Dk=−1) = 0

Pour n∈N^∗ tel que2n < l, on note Rn l'événement la marche reprend la valeur0 pour la première fois en2n.

1. Calcul dep(Rn).

a. Soit(a₀,· · ·, a_2n)un circuit strict de longueur2n. Préciser la probabilité de l'évé- nement

(A1=a1)∩(A2=a2)∩ · · · ∩(A2n=a2n) b. Montrer quep(Rn) =C_n−1pⁿ⁻¹qⁿ.

2. Préciser une suite simple équivalente à(p(Rn))_n∈N∗. En déduire la convergence de la sérieP

n≥1p(Rn). Que représente la somme de cette série ? 3. On suppose icip6= ¹₂ etq6=¹₂.

a. En distinguant deux cas, calculerP

n≥1p(Rn). (on trouvera deux expressions très simples)

b. Montrer que la série Pnp(R_n) est convergente. Que représente sa somme en termes probabilistes ? Montrer que

X

n≥1

np(R_n) = q

Q−P avecP = min(p, q), Q= max(p, q)

Partie V. Matrices de Hankel.

Dans cette partie, on dénit une fonctionρdans]0,4]par :

∀t∈]0,4], ρ(t) = 1 2π

√ 4t−t²

t

1. Soita∈]0,4]. Eectuer le changement de variablet= 2 + 2 sinθavecθ∈[−^π₂,^π₂]dans l'intégrale R4

a ρ(t)dt. En déduire la limite en 0 de la fonctiona7→R4

a ρ(t)dt. On note u0 cette limite.

2. Pourn∈N^∗, on poseu_n=R4

0 tⁿρ(t)dt.

a. Justier l'existence de cette intégrale. Montrer que u_n= 2ⁿ

π Z ^π₂

−^π₂

(1 + sinθ)ⁿ⁻¹cos²θ dθ

b. Montrer que

un= 4ⁿ⁺¹ π

Z ^π₂

0

cos²ⁿusin²u du

c. Montrer que u_n =C_n= _n+1¹ ²ⁿ_n .

(3)

3. Soitl∈N^∗, montrer que l'application







Rl[X]² →R (P, Q) 7→(P/Q) =

Z 4 0

P(x)Q(x)ρ(x)dx

est un produit scalaire surRl[X]. À quoi sert dans cette preuve la question 1 de cette partie ?

4. On admet ici que la famille de polynômes(P0, P1,· · ·Pl)avec

∀n∈J0, lK, Pn =

n

X

k=0

n+k n−k

(−X)^k

est une base orthonormée deRl[X]pour le produit scalaire de la question précédente.

a. Préciser la matrice de passage de (1, X, X², X³) vers (P0, P1, P2, P3) (bases de R3[X]). On noteM cette matrice. Que représente M⁻¹? et ^tM⁻¹M⁻¹?

b. Soitnentier naturel, montrer que

C0 C1 · · · Cn

C1 C2 · · · Cn+1

... ...

Cn Cn+1 · · · C2n

= 1