MPSI B Année 2016-2017. DM 17 pour le 23/06/17 29 juin 2019
Ce problème porte sur les nombres de Catalan dénis ici par récurrence par les relations C0= 1, ∀n∈N, Cn+1=
n
X
i=0
CiCn−i
Cette notationCn sera valable dans tout le problème.
Partie I. Boîte à outils.
1. Calculer
C1, C2, C3, C4, H2=
C0 C1 C1 C2
H3=
C0 C1 C2 C1 C2 C3 C2 C3 C4 2. On admet ici la formule de Stirlingn!∼√
2π nne−n√ n. En déduire une suite équivalente à 2nn
n∈N.
3. Soitpet qréels strictement positifs tels quep+q= 1. a. Montrer que4pq≤1. Dans quel cas a-t-on l'égalité ? b. Montrer que
1−p
1−4pq= 2 min(p, q) 4. Pourk∈N, on posewk=Rπ2
0 cos2kt dt. a. Préciserw0.
b. Montrer que2kwk = (2k−1)wk−1 pourk≥1. c. Montrer que
wk= π 2
2k k
4−k
Partie II. Marches sur N.
Soitl ∈ N, une marche sur Nde longueur l est une famille(a0, a1,· · ·, al) de nombres naturels tels que
a0= 0, ∀i∈J0, l−1K:|ai+1−ai|= 1(on noteraαi=ai+1−ai )
Un circuit de longueurlest une marche (a0, a1,· · ·, al)telle queal= 0. Un circuit est dit strict lorsqueak 6= 0pour tous lesk∈J1, l−1K.
Pour n∈ N, on note cn le nombre de circuits de longueur 2n et c0n le nombre de circuits stricts de longueur2n.
1. Soit(a0, a1,· · ·, al)une marche surN. Montrer que
al=Nombre de αi égaux à 1− Nombre de αi égaux à−1 En déduire que la longueur d'un circuit est toujours paire.
2. Préciserc0,c1,c01, c02, . Montrer quec0n =cn−1pour n≥1.
3. Soitn≥1 etk∈J1, n−1K. On considère les circuits(a0, a1,· · ·, a2n)tels que
a2k = 0etai6= 0 pour0< i <2k
a. Exprimer le nombre de ces circuits avec unc et unc0 puis avec deuxc. b. Exprimercn comme une somme dec. En déduire que, pour toutn∈N∗,
cn =Cn, c0n=Cn−1
Partie III. Développements et série génératrice.
Dans cette partie, on notef la fonction dénie dans[0,1[parf(x) =√ 1−x. 1. Soitnnaturel supérieur ou égal à 1, montrer que
∀t∈[0,1[, f(n)(t) =−(n−1)!
22n−1
2n−2 n−1
(1−t)12−n
2. Développement limité.
a. Montrer quef admet en0 le développement limité suivant à un ordren≥1 f(x) =√
1−x=a0+a1x+· · ·+anxn+o(xn) aveca0= 1etan=− 2
4nn
2n−2 n−1
pour n≥1
b. Montrer que, pourn≥2entier naturel,
n
X
k=0
akan−k = 0
3. Développement en série.
a. Rappeler sans démonstration la formule de Taylor avec reste intégral appliquée à f entre0 etx∈[0,1[. Le reste intégral sera notérn(x).
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b. Montrer que pour0≤t≤x <1 :
0≤x−t 1−t ≤x
c. Montrer que, pourx∈[0,1[, la suite(rn(x))n∈Nconverge vers0. d. Montrer que, pourx∈[0,1[, la sérieP
anxn est convergente avec X
n≥0
anxn =√ 1−x
4. On dénit une fonctionϕdans]0,14[par :
∀y∈]0,1
4[, ϕ(y) =1−√ 1−4y 2y
a. Montrer que ϕ se prolonge par continuité en 0. On note encore ϕ la fonction prolongée. Préciser la valeurϕ(0).
b. Exprimer, pourn∈N, des coecientscn en fonction desan pour que
∀y∈[0,1
4[, ϕ(y) =X
n≥0
cnyn
5. Montrer que, pour tout entiern≥2et touty∈[0,14[, cn =Cn= 1
n+ 1 2n
n
, 1−√ 1−4y
2y =X
n≥0
Cnyn
Partie IV. L'espoir du retour.
Soitl∈Net p, qdes réels strictement positifs tels quep+q= 1.
On noteMl l'ensemble des marches surNde longueur l. On dénit, pourk entier entre1 etl−1 des fonctionsAk etDk :
Ak((a0, a1,· · · , al)) =ak, Dk((a0, a1,· · · , al)) =ak+1−ak
On probabilise l'ensembleMl en dénissant une fonction pà l'aide de probabilités condi- tionnelles :
p|Ak6=0(Dk = 1) =p p|Ak6=0(Dk=−1) =q p|Ak=0(Dk = 1) = 1 p|Ak=0(Dk=−1) = 0
Pour n∈N∗ tel que2n < l, on note Rn l'événement la marche reprend la valeur0 pour la première fois en2n.
1. Calcul dep(Rn).
a. Soit(a0,· · ·, a2n)un circuit strict de longueur2n. Préciser la probabilité de l'évé- nement
(A1=a1)∩(A2=a2)∩ · · · ∩(A2n=a2n) b. Montrer quep(Rn) =Cn−1pn−1qn.
2. Préciser une suite simple équivalente à(p(Rn))n∈N∗. En déduire la convergence de la sérieP
n≥1p(Rn). Que représente la somme de cette série ? 3. On suppose icip6= 12 etq6=12.
a. En distinguant deux cas, calculerP
n≥1p(Rn). (on trouvera deux expressions très simples)
b. Montrer que la série Pnp(Rn) est convergente. Que représente sa somme en termes probabilistes ? Montrer que
X
n≥1
np(Rn) = q
Q−P avecP = min(p, q), Q= max(p, q)
Partie V. Matrices de Hankel.
Dans cette partie, on dénit une fonctionρdans]0,4]par :
∀t∈]0,4], ρ(t) = 1 2π
√ 4t−t2
t
1. Soita∈]0,4]. Eectuer le changement de variablet= 2 + 2 sinθavecθ∈[−π2,π2]dans l'intégrale R4
a ρ(t)dt. En déduire la limite en 0 de la fonctiona7→R4
a ρ(t)dt. On note u0 cette limite.
2. Pourn∈N∗, on poseun=R4
0 tnρ(t)dt.
a. Justier l'existence de cette intégrale. Montrer que un= 2n
π Z π2
−π2
(1 + sinθ)n−1cos2θ dθ
b. Montrer que
un= 4n+1 π
Z π2
0
cos2nusin2u du
c. Montrer que un =Cn= n+11 2nn .
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3. Soitl∈N∗, montrer que l'application
Rl[X]2 →R (P, Q) 7→(P/Q) =
Z 4 0
P(x)Q(x)ρ(x)dx
est un produit scalaire surRl[X]. À quoi sert dans cette preuve la question 1 de cette partie ?
4. On admet ici que la famille de polynômes(P0, P1,· · ·Pl)avec
∀n∈J0, lK, Pn =
n
X
k=0
n+k n−k
(−X)k
est une base orthonormée deRl[X]pour le produit scalaire de la question précédente.
a. Préciser la matrice de passage de (1, X, X2, X3) vers (P0, P1, P2, P3) (bases de R3[X]). On noteM cette matrice. Que représente M−1? et tM−1M−1?
b. Soitnentier naturel, montrer que
C0 C1 · · · Cn
C1 C2 · · · Cn+1
... ...
Cn Cn+1 · · · C2n
= 1
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