Convergence en moyenne d'une suite

(1)

D.M. de mathématiques n°2

Convergence en moyenne d'une suite

TS : Préparation aux mathématiques du supérieur

A rendre le vendredi 12 novembre au début de l'heure

Soitu_nune suite réelle (pas forcément convergente). On dit que u_nconverge vers l en moyenne si la suite de terme généralv_n=

∑

k=1 n u_k

n =1 n⋅

 ^∑

k=1

n

u_k



converge versl ^. Remarque: v_nest la moyenne des n premiers termes de la suite u_nd'où le nom.

Partie I: Étude d'exemples

1) Si u_nest la suite constante égale à, déterminerv_net déterminer la limite dev_nsi elle existe.

2) Si u_nest la suite de terme généralu_n=−1ⁿ, déterminerv_net déterminer la limite de v_nsi elle existe.

3) Si u_nest la suite de terme généralu_n=n , déterminerv_net déterminer la limite dev_nsi elle existe.

Partie II: Cas général

4) Est-ce qu'une suiteu_nqui converge versl(au sens habituel) converge forcément en moyenne?

Si oui, vers quelle limite?

5) Est-ce qu'une suiteu_nqui converge en moyenne vers l est forcément convergente? Si oui, vers quelle limite?

Partie III: Application

6) Soitu_nune suite telle que lim_n

∞



^un1−u_n



₌_l , montrer que lim

n∞



^uⁿⁿ



⁼ ^l^.

Convergence en moyenne d'une suite

 ∑