TS spé EPI 2 On considère la suite réelle

TS spé EPI 2

On considère la suite réelle

 

1 1

n n

u _ nu  pour tout entier naturel n.

On ne cherchera pas l’expression de u en fonction de n. _n

1°) Démontrer que tous les termes de la suite

 

2°) Déterminer le dernier chiffre de l’écriture en base 10 de u₂₀₁₆.

Solution

On considère la suite réelle

 

1 1

n n

u _ nu  pour tout entier naturel n.

On ne cherchera pas l’expression de u en fonction de n. _n

1°) Démontrer que tous les termes de la suite

 

On effectue une récurrence.

2°) Déterminer le dernier chiffre de l’écriture en base 10 de u₂₀₁₆.

On peut commencer par calculer les premiers termes de la suite.

Lorsque l’on rentre la suite dans la calculatrice, on voit qu’on est assez vite en dépassement de capacité.

On a : u₂₀₁₆ 2015u₂₀₁₅1 et u₂₀₁₅ 2014u₂₀₁₄1. 2014 u 2014 est un entier pair donc u₂₀₁₅ est un entier impair.

Par suite, 2015 u ₂₀₁₅ est un entier dont l’écriture en base 10 se termine par 5.

Comme on ajoute 1, l’écriture en base 10 de u₂₀₁₆ se termine par 6.

Variante :

 

2016 2015 2014 2014 1 1

u   u  

2016 2015 2014 u2014 2015 1

u     

2016 ...0 2016

u  

2016 ...6

u 

Le dernier chiffre est 6.

On peur effectuer éventuellement le calcul 2015 2014 . On obtient 2015 2014 4058910.

Complément :

On pose

 

n

v u

 n

 ^. n *

 »

1

 

1

1 1

! 1 ! !

n n

n n

u u

v v

n n n

      

 Ainsi, pour n2

v2 ₁ 1 v 1!

  v3  v₂ 1

2!

…

1

n n

v  v _

 

 

1 1

1

1

!

n n

k

v v

k





 



Or ₁ ¹ 1

0!

v u  donc on peut écrire

1

0

1

!

n n

k

v k









On en déduit que  n »^*

 

1

0

1 ! 1

!

n n

k

u n

k





  

