On considère la suite (t n ) n∈N

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

On considère la suite (t n ) _n∈N

^∗

dénie par t n =

2n

X

k=0

1 n ² + k

On considère les suites (u n ) _{n∈ N}

^∗

, (v n ) _{n∈ N}

^∗

, (U n ) _{n∈ N}

^∗

, (V n ) _{n∈ N}

^∗

dénies par :

u _n = (−1) ^{E( √ n)}

n , v _n = (−1) ⁿ t _n U _n =

n

X

j=1

u _j , V _n =

n

X

j=1

v _j

1. Pour tout réel x positif ou nul, préciser le réel θ 2 (x) de [0, 1] tel que 1

1 + x = 1 − x + x ² θ 2 (x) 2. a. Déterminer des réels a et b tels que

t n = a n + b

n ² + o( 1 n ² ) (On peut écrire _n

2

¹ +k = ¹

n

²

(1+

^k

n2

) et utiliser 1.)

b. Montrer que (t _n ) _{n∈ N}

^∗

est décroissante à partir d'un certain rang.

3. Établir que U n

²

+2n = V n pour tout n ≥ 1 . 4. a. Montrer que (V n ) n∈ N

^∗

converge.

b. Montrer que (U n ) n∈ N

^∗

converge vers la même limite que (V n ) n∈ N

^∗

.

Corrigé

1. On trouve facilement θ ₂ (x) = _1+x ¹ . On remarque que 0 ≤ θ(x) ≤ 1 pour x ≥ 0.

2. a. Utilisons l'indication de l'énoncé avant de sommer 1

n ² + k = 1 n ²

1 − k

n ² + k ² n ⁴ θ( k

n ² )

2n

X

k=0

1

n ² + k = 1 n ²

2n

X

k=0

1 − 1 n ⁴

2n

X

k=0

k + 1 n ⁶

2n

X

k=0

k ² θ( k n ² )

= 2

n − 2n(2n + 1) 2n ⁴ + 1

n ⁶

2n

X

k=0

k ² θ( k n ² )

= 2 n − 2

n ² − 1 n ³ + 1

n ⁶

2n

X

k=0

k ² θ( k n ² )

Il reste à montrer que la dernière somme est négligeable devant _n ¹

2

. Ceci résulte de :

0 ≤ 1 n ⁶

2n

X

k=0

k ² θ( k n ² ) ≤ 1

n ⁶

2n

X

k=0

k ² ≤ 1

n ⁶ (2n) ² = 4 n ³ On majore θ( _n ^k

₂

) par 1 puis chaque k ² par n ² . On obtient donc

t n = 2 n − 2

n ² + o( 1 n ² ) b. Cherchons un développement de t n+1 :

t _n+1 = 2

n + 1 − 2

(n + 1) ² + o( 1

n ² ) = 2

n(1 + _n ¹ ) − 2

n ² + o( 1 n ² ) = 2

n − 4 n ² + o( 1

n ² ) On en déduit t n+1 − t n ∼ − _n ²

2

; ce qui montre t n+1 − t n < 0 à partir d'un certain rang. La suite (t n ) n∈ N

^∗

est décroissante à partir de ce rang.

3. Soit i un entier alors (i + 1) ² −1 = i ² + 2i . Si j ∈

i ² , . . . , (i + 1) ² − 1 alors E( √ j) = i de sorte que

U _n

2

+2n =

n

X

i=1 i

²

+2i

X

j=i

²

(−1) ^{E( √ j)}

j =

n

X

i=1

(−1) ⁱ

i

²

+2i

X

j=i

²

1 j

=

n

X

i=1

(−1) ⁱ

2i

X

k=0

1 i ² + k =

n

X

i=1

(−1) ⁱ t _i = V _n

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai Aseq4

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4. a. Comme (t n ) n∈ N

^∗

est décroissante à partir d'un certain rang et converge vers 0, la somme des (−1) ⁿ t n est convergente. Cet exercice a été traité en cours comme application de la notion de suite adjacente. On note l la limite .

b. Comme u n → 0 et U (n+1)

²

= U n

²

+2n + u n , on déduit du a. la convergence de la suite extraite (U _n

2

) _{n∈ N}

∗

vers l . D'autre part, si p = E( √

n) , on a aussi U _p

2

− t _p ≤ U _n ≤ U _p

2

+ t _p . On peut conclure par le théorème d'encadrement car p → +∞

lorsque n → +∞ .

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