PanaMaths
[1 - 2]Mai 2006
On considère la suite ( ) u
ndéfinie par :
*
,
n4 n
2n u
n
∀ ∈ ` = − Etudier le sens de variation de ( ) u
n.
Analyse
Un exercice où la forme de un suggère d’étudier le sens de variation d’une certaine fonction rationnelle.
Résolution
Pour tout entier naturel n strictement positif, on a : n
( )
4 2u f n n n
= = − où f est la fonction
définie sur \* par :
4 2
: x
f x x
6 − .
Cette fonction est dérivable sur \+* en tant que fonction rationnelle définie sur cet intervalle et on a :
( ) ( 2)
2
2 2
2 2
2 2
2
2 4 1
'
2 4
4 4
x x x
f x
x
x x
x x
x x
x
− × − − ×
=
− − +
=
= − −
= − +
Pour tout x strictement positif, on a : x2+ >4 4 et x2>0. On en déduit que f ' est strictement négative sur \+*. La fonction f est donc strictement décroissante sur \+*. On en déduit finalement que la suite
( )
un est strictement décroissante.PanaMaths
[2 - 2]Mai 2006
Résultat final
La suite