On considère la suite ( ) u

PanaMaths

[1 - 2]

Mai 2006

On considère la suite ( ) u

n

définie par :

0

, 0 ; 1 u = a a ∈

^⎤_⎦ ^⎡_⎣

( )

, 2

_n 1 _{n n}

n u

₊

u u

∀ ∈ ` = −

Démontrer par récurrence que l’on a : ∀ ∈ n ` , 0 ;1 u

_n

∈

^⎤_⎦ ^⎡_⎣

.

Analyse

Pour cette démonstration par récurrence, on a tout intérêt à noter que la suite

( )

un est définie par récurrence sous la forme : un₊1= f u

( )

n . L’étude de la fonction f, fonction polynôme du second degré, ne pose pas de difficulté particulière …

Résolution

Soit P_n la proposition « un∈

] [

^{0 ; 1} ».

Puisque u₀ =a et que a appartient à l’intervalle

] [

^{0 ; 1} , on en déduit que la proposition P₀ est vraie.

Supposons maintenant que P_n soit vraie et intéressons-nous à P_n+1. Il nous faut démontrer que u_n+1 appartient à l’intervalle

] [

^{0 ; 1 .}

On a, d’après la définition de la suite

( )

un : ∀ ∈n `, u_n+1= f u

( )

_n , où f est la fonction définie par :

( )

: 2

f x6x −x

Etudions cette fonction sur l’intervalle

[ ]

^{0 ; 1 .}

Elle y est dérivable en tant que fonction polynôme et on a :

] [

^{0;1 , '}

( )

^{2 2 2 1}

( )

x f x x x

∀ ∈ = − = −

Pour tout x réel vérifiant 0< <x 1, on a : 0 1< − <x 1. On en déduit que f' est strictement positive sur

] [

^{0 ; 1} et, de fait, que la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle et donc sur

[ ]

^{0 ; 1 .}

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[2 - 2]

Mai 2006

On en déduit :

] [

0 ; 1 , 0

( ) ( ) ( )

1

x f f x f

∀ ∈ < <

Or, ^f

( )

^{0 =0 et f}

( )

^{1 =1.}

Finalement :

] [

0 ; 1 , 0

( )

1

x f x

∀ ∈ < <

En particulier, d’après l’hypothèse de récurrence, on a : 0<u_n<1. Donc : ⁰< f u

( )

n <¹.

C’est à dire : 0<u_n+1<1.

La proposition P_n+1 est donc vraie.

Finalement, la proposition est vraie pour tout entier naturel n.

Résultat final

] [

, 0 ; 1_n

n u

∀ ∈` ∈