Convergence de la suite (Un)n∈N∗ 1

ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Maison 9 9 avril 2018

Problème.

On considère la suite (U_n)n∈N^∗ dénie par U_n= Z 1

0

xⁿln(x+ 1)dx. A. Calcul de U1

1. Prouver l'existence de trois réels a,b,ctels que ∀x∈[0,1], x²

x+ 1 =ax+b+ c x+ 1. 2. En déduire la valeur de l'intégrale

Z ₁

0

x² x+ 1dx. 3. Calculer U₁.

B. Convergence de la suite (Un)n∈N^∗

1. Montrer que la suite (U_n)n∈N^∗ est décroissante.

2. Montrer que la suite (U_n)_n∈

N^∗ est à termes positifs, et justier sa convergence.

(On ne demande pas sa limite à cette question.) 3. Démontrer que ∀n∈N^∗, 0≤U_n≤ ln(2)

n+ 1. 4. En déduire la limite de la suite (U_n)n∈N^∗. C. Calcul de Un pour n≥2

Pour x∈[0; 1]etn∈N^∗\ {1}, on pose : S_n(x) = 1−x+x²+...+ (−1)ⁿxⁿ=

n

X

k=0

(−1)^kx^k =

n

X

k=0

(−x)^k.

1. Montrer que S_n(x) = 1

1 +x +(−1)ⁿxⁿ⁺¹ 1 +x . 2. En déduire que

n

X

k=0

(−1)^k

k+ 1 = ln(2) + (−1)ⁿ Z 1

0

xⁿ⁺¹ 1 +xdx.

3. En utilisant une intégration par parties dans le calcul deUn, montrer que : Un= ln(2)

n+ 1+(−1)ⁿ n+ 1

"

ln(2)−

n

X

k=0

(−1)^k k+ 1

# .

1/1