E140- Une suite trentenaire [**** à la main] Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin

E140- Une suite trentenaire [**** à la main]

Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin

Q₁ A partir des relations f(0) = 0, f(2n) = f(n), f(2n + 1) = 1 − f(n), déterminer f(2002).

Q₂ Déterminer le nombre d’entiers n inférieurs ou égaux à 2020 tels que f(n) = 0 Q₃ Soit p un entier naturel et N = (2^p – 1)². Calculer f(N)

source : concours général 1990

Solution proposée par Daniel Collignon

Q1

f(2020)=f(1010)=f(505)=1-f(252) f(252)=f(126)=f(63)=1-f(31)

f(31)=1-f(15)=f(7)=1-f(3)=f(1)=1-f(0)=1 D'où f(2020)=1

Q2

Par récurrence, f(n) est dans {0,1}

C'est vrai pour f(0)=0 et f(1)=1

Supposons le résultat démontré jusqu'au rang n>=1

Si n+1=2p, alors f(2p)=f(p) est dans {0,1} par hypothèse de récurrence puisque p=(n+1)/2>=1 Sinon n+1=2p+1, alors f(n+1)=1-f(n) est dans {0,1} par hypothèse de récurrence

Pour tout n entier, nous avons f(2n)+f(2n+1)=1

D'où par sommation, somme(i=0..n,f(2i)+f(2i+1))=somme(i=0..n,1) Ou encore somme(i=0..2n+1,f(i)) = n+1

En particulier pour n=1009, somme(i=0…2019, f(i)) = 1010 est le nombre d'indice 0=<i=<2019 tels que f(i)=1.

En intégrant le résultat de Q1, il y a donc 2020-1010=1010 indices 0=<i=<2020 tels que f(i)=0.

Q3

Par récurrence, f(n) donne la parité du nombre de "1" dans l'écriture binaire de n (0/1 s'il y en a un nombre pair/impair).

C'est vrai pour f(0)=0 et f(1)=1

Supposons le résultat démontré jusqu'au rang n>=1.

Nous supposerons dans la suite que p s'écrit X en binaire.

Si n+1=2p s'écrit X0 en binaire, alors le résultat est vrai f(2p)=f(p) par hypothèse de récurrence Sinon n+1=2p+1 s'écrit X1 en binaire et le résultat est vrai puisque f(n+1)=1-f(n)=1+f(n) (mod 2)

Si N = (2^p - 1)², alors N=2^(2p) - 2^(p+1) + 1 D'où N = 2^(2p-1) + 2^(2p-2) + … + 2^(p+1) + 1

L'écriture binaire de N commence donc par p-1 "1" et se termine par 1 "1", soit p "1".

Si p est pair/impair, alors f(N)=0/1.

Ce que l'on peut synthétiser par f(N)=(1-(-1)^p)/2 Application numérique : pour p=2020, f(N) = 0.