E140- Une suite trentenaire [**** à la main]
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin
Q₁ A partir des relations f(0) = 0, f(2n) = f(n), f(2n + 1) = 1 − f(n), déterminer f(2002).
Q₂ Déterminer le nombre d’entiers n inférieurs ou égaux à 2020 tels que f(n) = 0 Q₃ Soit p un entier naturel et N = (2p – 1)2. Calculer f(N)
source : concours général 1990
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Q1 .
Si F(0) = 0 , alors F(1) = F(2x0+1) = 1 - F(0) = 1 ; tous les termes d'indice 2k valent 1 avec k >= 0 soit a : la valeur du terme d'indice 2020 . elle est conservée pour les termes d'indice 1010 et 505
Si b est la valeur du terme d'indice (505 - 1)/2 = 252 , elle est conservée pour les termes d'indice 126 & 63 . Elle reprend la valeur a pour le terme d'indice (63-1)/2 = 31
reprend la valeur b pour celui d'indice (31-1)/2 = 15 reprend la valeur a pour celui d'indice (15-1)/2 = 7 reprend la valeur b pour celui d'indice (7-1)/2 = 3
reprend la valeur a pour celui d'indice (3-1)/2 = 1 . Le terme F(1) valant 1 , c'est aussi la valeur de F(2020) = 1.
Q2 .
Un début de tableau donne une valeur 0 où 1 avec les premiers termes .
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 , 30 , 31
0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 0 , 1 , 0 , 0 , 1
avec les 9 derniers termes :
2012 , 2013 , 2 014 , 2015 , 2016 , 2017 , 2018 , 2019 , 2020 0 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1
Il y aurait ainsi 1011 termes de valeur 1 ( 2020 inclus) et 1010 termes nuls ( F(0) inclus .
Q3 Soit N = (22020 – 1)2. Calculer f(N) .
Avec les puissances de 2 ; le terme F(n = 2¹ - 1) = F(1) a pour valeur 1 ; Le terme F(2² - 1) = F(3) = 0
F(3²) = F(9) = 0
Le terme F(2³ - 1) = F(7) = 1 ; F(49) = 1 Le terme F(24 - 1) = F(15) = 0 ; F(225) = 0 Le terme F(25 - 1) = F(31) = 1 ; F(961) = 1 Le terme F(26 - 1) = F(63) = 0 ; F(26 - 1)² = 0 On s'aperçoit qu'avec les premières puissances de 2 : F(22k+1 - 1)² = F(24k+2 - 22k+2 + 1)
& F(22k - 1)² = F(24k - 22k+1 + 1) = 0 ; F(22020 - 1)² = F(24040 - 22021 + 1)= 0
En prenant ce dernier exemple : on soustrait 1 à ce nombre et on le divise par 2 ; le nombre obtenu a maintenant pour valeur : 1
F(24039 - 22020) = 1
on peut maintenant diviser l'indice obtenu par 22020 sans changer la valeur 1 de F .
donc F(22019 - 1) = 1 ; puis on soustrait à nouveau 1 puis on divise à nouveau par 2 : F(22018- 1) = 0 l'exposant 2018 est pair : F(22k - 1) = 0
l'opération suivante : F[(22018- 2)/2] = F(22017 - 1) = 1
On poursuit la descente et on vérifie que F(26 - 1) = F(24 - 1) = F(2² - 1) = F(63) = F(15) = F(3) = 0
F(27 - 1) = F(25 - 1) = F(2³ - 1) = F(1) = F(127) = F(31) = F(7) = 1
