Initialisation.u1=1 2>0, la propriété est vraie au rang 1

Externat Notre Dame Ape (Tle S) Vendredi 29 mars

1. – u₂=1+1 2×1u₁=1

2 – u3=2+1

2×2u2=3 4×1

2=3 8 – u₄=3+1

2×3u₃=4 6×3

8=1 4

2. a. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturelnnon nul,un>0.

– Initialisation.u1=1

2>0, la propriété est vraie au rang 1.

– Hérédité.Supposons que, pour un certain entier naturelk non nul on au_k >0, alors, commek+1

2k >0, on ak+1

2k u_k>0, c’est-à-dire u_k+1>0, et la propriété est donc héréditaire.

– Conclusion.Pour tout entier naturelnnon nul :un>0.

b. Soitn∈N^∗, alorsu_n+1 u_n =n+1

2n = n+1

n+n 6^{1. Commeu}n>0 on en déduit queu_n+16^un et donc que la suite (u_n) est décroissante.

c. La suite (un) est décroissante, minorée (par 0), elle est donc convergente vers une limite

`>^0.

3. a. Soitn∈N^∗, alors :v_n+1=u_n+1 n+1=

n+1 2n u_n n+1 =1

2×1 nu_n=1

2v_n. La suite (v_n) est donc une suite géométrique de raison1

2et de premier termev₁=u₁=1 2. b. Par propriété des suites géométriques, pour toutn∈N^∗:

v_n= µ1

2

¶_n−1 v₁= 1

2ⁿ, on en déduit, commev_n=u_n

n , queu_n= n 2ⁿ. 4. a. On peut écrire, pour tout réelx∈[1 ;+∞[ :f(x)=x

µlnx x −ln 2

¶

. On sait que lim

x→+∞

lnx x =0 (croissances comparées), donc, par opérations sur les limites : lim

x→+∞f(x)= −∞. b. Soitn∈N^∗, alors lnu_n=ln³n

2ⁿ

´

=lnn−ln (2ⁿ)=lnn−nln 2=f(n).

On en déduit que : lim

n→+∞lnu_n= −∞, puis, par application de la fonction exponentielle et de la limite d’une composée : lim

n→+∞u_n=0.

Remarque.On aurait pu déterminer la limite`de la suite (u_n) dès la question 2 c. En effet la relationu_n+1=n+1

2n u_nentraîne que, lorsquentend vers+∞,`=1

2`et donc que`=0.