1- Le bulletin d'étalonnage d'un viscosimètre d'Ostwald indique une constante k = 1,12 10-8 (unité SI) On mesure la durée de descente de l'eau à 0°C et l'on obtient un temps de 1 min 38 s. A la température de 30°
cette durée n'est que de 59 s. Calculer la viscosité cinématique de l'eau à ces deux températures.
2- Calculer la viscosité cinématique de l'eau et du dioxygène à 20°C.
Données : μeau = 10-3 Pa.s ; μdiox = 1,95 10-5 Pa.s ; densité d'un gaz d = M/29 ρair = 1,293 kg.m-3
3- Un viscosimètre à cellule de Couette est constitué d’un cylindre de rayon intérieur R2 entraîné par un moteur. Un deuxième cylindre de rayon R1 < R2, suspendu par un fil d’acier, est disposé coaxialement dans le premier. Un liquide de viscosité μ est versé entre les deux cylindres : il forme une couche cylindrique d’épaisseur e1 = R2 - R1 sur une hauteur h (hauteur mouillée du cylindre intérieur) et une couche plane circulaire d’épaisseur e2 entre la base du cylindre intérieur et le fond du cylindre extérieur.
Lorsque le cylindre extérieur est mis en mouvement de rotation à vitesse constante ω, le cylindre intérieur tourne d’un certain angle α, puis s’immobilise: le couple dû aux forces de frottement visqueux équilibre le couple de torsion du fil d’acier.
a) Exprimer le moment du couple engendré par les frottements sur la surface latérale du cylindre intérieur (utiliser la définition de la viscosité dynamique).
Pour simplifier, on négligera les effets sur le disque inférieur de liquide d'épaisseur e2..
On donne : R1 = 45,0 mm, R2 = 45,4 mm, h = 150 mm.
b) Le constructeur du viscosimètre propose, pour déterminer la viscosité, la relation α μ = k
ω, dans laquelle k est la constante d’appareil.
Ainsi on peut déduire la viscosité μ à partir de la mesure de α et de ω.
Le fil d’acier ayant une constante de torsion C = 1O-3 N.m/°, calculer le coefficient k.
c) Un liquide de viscosité inconnue est placé dans la cellule de Couette. On fait tourner le moteur à 102 trs/min. On mesure l’angle de rotation du cylindre intérieur : α = 142°. En déduire la viscosité du liquide dans ces conditions expérimentales.
d) Calculer la puissance mécanique que fournit le moteur lorsque le cylindre intérieur s’est immobilisé.
4- On pompe de l'huile de densité 0,86 par un tuyau horizontal de diamètre D = 5,0 cm, de longueur L = 300 m, avec un débit-volume de 1,20 L.s-1 ; la différence de pression entre les extrémités du tuyau vaut 20,6×104 Pa. Calculer la viscosité cinématique et dynamique de l'huile (on fera l'hypothèse d'un écoulement laminaire que l'on justifiera à posteriori en calculant le nombre de Reynolds correspondant).
5- Pour du fuel lourd, on donne les valeurs numériques suivantes : ρ = 912 kg.m-3 ; ν = 2,05×10-4 m2.s-1 ; qv = 20,0 L.s-1 ; L = 1,0 km.
a/ Pour une canalisation de longueur L, la perte de charge vaut 2,0 bar. Exprimer Δp en Pascal b/ En faisant l’hypothèse d’un écoulement laminaire, en déduire le diamètre D de la canalisation.
c/ Calculer ensuite le nombre de Reynolds Re et vérifier que l’hypothèse de l’écoulement laminaire est bien vérifiée.
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Exercices de mécanique des fluides n°2 (tension superficielle)
1- Un cadre métallique en fil de fer forme un rectangle de 6 cm de large et de 12 cm de long. Une fine tige, très légère, est placée sur le cadre de telle façon qu’elle le divise en deux carrés égaux de 6 cm de côté.
La tige mobile étant maintenue sur le cadre, on plonge l’un des deux carrés dans de l’eau savonneuse de tension superficielle σ = 30 mN/m. Quand on retire le dispositif du liquide, une lame liquide se forme sur le carré qui a été immergé. Le cadre mobile étant horizontal, que se passe-t-il lorsqu'on lâche la tige mobile ?
* Quelle force faut-il appliquer à la tige pour maintenir la forme carrée de la lame liquide ?
* Quelle énergie doit-on fournir pour amener le liquide à occuper toute la surface du cadre en déplaçant la tige mobile?
2-Calculer la pression qui règne dans une goutte d’eau sphérique, immobile dans l’air. Même question pour une bulle d’air dans l’eau. Faire le calcul numérique avec les diamètres suivants : 1μm, 10 μm et100 μm. Données : pression atmosphérique : 105 Pa, température 20°C.(valeur de σ dans le polycopié)
3-Une pipe en verre est plongée dans de l’eau savonneuse de 30 mN/m de tension superficielle. Avec quelle pression faut-il souffler dans la pipe pour former une « bulle de savon » de 10 cm de diamètre?
4- On pulvérise 3 litres d’eau par minute en fines gouttelettes de diamètre moyen: 3 pm.
* Calculer le nombre de gouttes formées par minute.
* Calculer la surface totale des gouttes ainsi formées.
* Quelle puissance faut-il fournir au fluide pour effectuer ce travail (utiliser la formule de définition de la tension superficielle, on néglige la surface initiale du liquide)
La température étant supposée constante et égale à 20°C ; la tension superficielle de l'eau est alors σ = 0,0724 mN.m-1.
5- Une goutte de benzène est déposée sur une surface plane et propre de mercure. L’expérience à lieu à 20°C. La goutte reste-t-elle en équilibre ou s’étale-t-elle sur la surface du mercure?
Données : Air-benzène σ12 = 28.5mN.m-1 ; benzène-mercure σ23 = 357 mN.m-1 ; air-mercure σ13 = 475 mN.m-1
6- On veut mesurer la tension superficielle d’un liquide par la méthode d’arrachement. Une lame de platine de longueur L = 25,3 mm et d’épaisseur négligeable est suspendue sous le plateau d’une balance, l’autre plateau, caché, portant une tare. On équilibre le fléau avec une masse m1 = 5383 mg. La lame est ensuite mouillée par le liquide et arrachée de sa surface pour une masse m2 = 5270 mg.
Au moment de l’arrachement le fléau doit occuper la même position que dans le premier équilibre. En déduire la tension superficielle du liquide dans les conditions de température et de pression de la mesure.
7- Avec un compte-gouttes de précision, on fait couler un volume bien défini d’eau pure à 20°C (ρ1 = 998 kg/m3 et σ1 = 0,0724 N/m). La masse d’eau recueillie est ensuite pesée.
On trouve M1 = 2500 mg et n1 = 50 gouttes. On recommence l’expérience avec de l’alcool éthylique.
Avec le même volume initial, on obtient M2 = 1985 mg et n2 = 125 gouttes. En déduire la tension superficielle et la masse volumique de l’alcool à 20°C.
8- En supposant que la sève monte dans les végétaux uniquement par ascension capillaire (d'autres phénomènes complexes interviennent encore en réalité),, quel peut être le rayon des capillaires dans un arbre de 20 m de hauteur ?
Les caractéristiques de la sève sont : σ = 50 mN.m-1 et ρ = 1100 kg.m-3 , on admettra que la sève a un angle de raccordement nul au niveau du contact avec la paroi des capillaires.
Exercices de mécanique des fluides n°3
1- De l'eau s'écoule dans une conduite de 30 cm de diamètre à la vitesse de 0,5 m.s-1. Calculer le débit volumétrique en m3.s-1 et en L.s-1 ainsi que le débit massique en kg.s-1.
2- Il faut 20 s pour remplir un récipient de 10 L d'eau. La conduite comporte un robinet de 15 mm de diamètre d'ouverture. Calculer le débit volumique et la vitesse moyenne de l'eau sortant du robinet.
3- Le piston d'une pompe de graissage de 60 mm de diamètre se déplace à 0,5 m.s-1. Calculer la vitesse de l'huile dans la conduite de 20 mm de diamètre.
4- Dans une conduite d'eau de 30 cm de diamètre, l'eau circule avec un débit 1800 L.min-1. Calculer la vitesse moyenne de l'écoulement. Le diamètre passe à 15 cm, calculer la nouvelle vitesse.
5- De l'air circule dans une conduite de 15 cm de diamètre avec une vitesse de 3,2 m.s-1. Calculer le débit volumique.
La pression atmosphérique étant de 1,013 bar et la pression dans le conduit étant de 2,1 bar et la température de 38 °C. Calculer le débit massique.
On donne : masse molaire de l'air = 29 g.mol-1 à 0°C et pression normale, loi des gaz parfaits PV = nRT où la constante des gaz parfaits R = 8,31 J.mol-1.K-1.
6- Quel débit d'eau peut assurer une surpression de 10 bars à travers un capillaire de rayon 0,1 mm et de longueur 10 cm ? Quelle surpression faut-il provoquer pour avoir le même débit avec un tube de rayon 0,5 mm ? On donne la viscosité dynamique de l'eau μ = 10-3 Pa.s.
7- On pompe de l'huile de densité 0,86 par un tuyau horizontal de diamètre D = 5,0 cm, de longueur L = 300 m, avec un débit-volume de 1,20 L.s-1 ; la différence de pression entre les extrémités du tuyau vaut 20,6×104 Pa. Calculer la viscosité cinématique et dynamique de l'huile (on fera l'hypothèse d'un écoulement laminaire que l'on justifiera à posteriori en calculant le nombre de Reynolds correspondant).
8- Pour du fuel lourd, on donne les valeurs numériques suivantes : ρ = 912 kg.m-3 ; ν = 2,05×10-4 m2.s-1 ; qv = 20,0 L.s-1 ; L = 1,0 km.
a/ Pour une canalisation de longueur L, la perte de charge vaut 2,0 bar. Exprimer Δp en Pascal b/ En faisant l’hypothèse d’un écoulement laminaire, en déduire le diamètre D de la canalisation.
c/ Calculer ensuite le nombre de Reynolds Re et vérifier que l’hypothèse de l’écoulement laminaire est bien vérifiée.
9- Une conduite horizontale de 15 cm de diamètre présente un étranglement de 5 cm de diamètre. La vitesse de l'eau dans la conduite principale est de v1 = 1 m.s-1 et la dépression 105 Pa. Trouver la vitesse v2 et la pression p2 dans l'étranglement.
10- Soit un siphon de diamètre d (d=10,0 mm) alimenté par un
récipient rempli d'eau, de grande dimension par rapport à d et ouvert à l'atmosphère (patm= 1,0 bar).
A
S M
h
H
a/ Calculer la vitesse moyenne du fluide en S puis le débit-volume qv
du siphon.
A.N : H = 3,0 m.
b/ Donner l'expression de la pression pM au point M en fonction de h.
c/ Représenter l'allure de la pression pM en fonction de h.
h peut-il prendre n'importe quelle valeur ?
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Exercices de mécanique des fluides n°4 Equation de continuité et équation de Bernoulli
1- (Bac 99) Une artère, supposée cylindrique et horizontale, présente un rétrécissement.
Au point A, son diamètre est D1 = 18 mm, sa section est S1 = πD2/4, la vitesse du sang est de v1 = 30 cm.s-1 et la pression est de p1 = 114657 Pa.
Dans sa partie rétrécie, au point B, son diamètre est noté D2, sa section est S2 , la vitesse est v2 et la pression p2.
On suppose que le sang est un liquide parfait dont la masse volumique est ρ = 1050 kg.m-3. a- Grâce à l'équation de Bernouilli, calculer la valeur de
la vitesse v2 , lorsque la pression p2 est de 101325 Pa.
b- Quelle est alors la surface de la section en B (S2) ? En déduire le diamètre d2 de la partie rétrécie.
c- On suppose maintenant que la section de l'artère en B devient égale à S2 = 10 mm2 . Déterminer la nouvelle valeur de la pression p'2.
d- Comparer la pression p'2 à la pression atmosphérique patm = 101325 Pa. Dans cette situation, que pourrait-il se passer pour l'artère ?
2- (Bac 98) Soit un barrage faisant retenue d'eau, l'eau peut s'échapper au niveau inférieur du barrage par une conduite forcée terminée par une tuyère.
On considère que les pressions statiques au point M1 (situé à la surface libre à l'altitude z1) et au point M2 (situé à la sortie de la tuyère à l'altitude z2) sont égales à la pression atmosphérique.
a- Donner l'expression de l'équation de Bernouilli en précisant la signification et l'unité de chaque grandeur utilisée.
b- Calculer la vitesse v2 de l'eau en M2.
c- Calculer le débit volumique en M2 si le diamètre de la tuyère est de 5 cm.
On donne : g = 9,81 m.s-2 z1 = 1350 m et z2 = 1100 m
3- De l'eau s'échappe à raison de 0,05 m3.min-1 par un orifice pratiqué dans le fond d'un réservoir qui contient une hauteur de 4 m d'eau. Quel sera le débit si l'on exerce en plus une pression de 6,0.104 Pa sur la surface libre de l'eau (à l'aide d'un piston ayant la même forme que le réservoir.
4- Trouver le travail accompli par une pompe qui monte 5 m3 d'eau, d'une hauteur de 20 m pour l'envoyer dans une conduite où la pression moyenne est de 1,5.105 Pa.
5- L'eau d'un barrage tombe sur une turbine située 30 m plus bas, avec un débit de 60 m3.min-1. l'eau s'échappe de la turbine à une vitesse de 9 m.s-1. Quel est le rendement énergétique au niveau de la chute d'eau ? Quelle est la puissance maximum que peut développer la turbine ?
6- Une conduite horizontale de 15 cm de diamètre présente un étranglement de 5 cm de diamètre. La vitesse initiale de l'eau est de 1 m.s-1 et la pression est 105 Pa. Trouver la vitesse et la pression de l'eau dans l'étranglement.
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Equation de continuité et équation de Bernoulli
1- Réservoir
Z0
h
A M
C D
B
Dans la figure ci-dessus, R est un réservoir de très large section, rempli d'eau considérée comme un fluide parfait, et dont le niveau Z0 est maintenu constant. AC est une conduite de diamètre D. En C se trouve une courte tuyère horizontale de diamètre d ; C et D sont sur la même horizontale.
a- Etablir l’expression de la vitesse vD de l’eau à la sortie de la tuyère (justifier les approximations effectuées). Exprimer le débit-volume qv et la vitesse v dans la conduite AC.
b- A.N : Z0 = 4,0 m ; D = 5,0 cm ; d = 2,0 cm.
c- Un tube est placé en B en liaison avec la conduite. Déterminer la pression au point B.
En déduire h, différence des niveaux des surfaces libres du réservoir et du tube.
Montrer que l'on pouvait prévoir aisément ce résultat.
2- Bac STL 1996
On considère une canalisation AB où s'écoule de l'eau, considérée comme un fluide parfait.
Les diamètres des canalisations en A et B sont respectivement DA = 11,0 cm et DB = 9,0 cm.
Le point B se trouve placé 10 m plus haut que le point A par rapport au niveau du sol.
La pression en A est pA = 5,0 bars.
a- La vitesse moyenne de l'eau en A est vA = 4,0 m.s-1. En utilisant l'équation de continuité déterminer la vitesse vB du fluide en B.
b- La vitesse en A est inchangée et la vitesse en B est de 6,0 m.s-1. Evaluer la pression statique pB en B.
g = 9,81 m.s-2 ρ (eau) = 1000 kg.m-3.
3- Tube de Venturi vertical
A
B
1,25 m
0,50 m
On étudie l'écoulement de l'eau à travers un tube de Venturi vertical.
On supposera le liquide comme parfait et le régime d'écoulement permanent.
a- Ecrire l'équation de continuité et exprimer la relation littérale entre les vitesses moyennes vA , vB et les diamètres DA et DB .
A.N : Débit-volume : qv = 200 L.s-1. Calculer vA et vB .
b- Appliquer la relation de Bernoulli entre A et B en précisant clairement la signification des différents termes.
A.N : Calculer Δp = pA - pB
Données numériques : DA = 30,0 cm, DB = 15,0 cm.
ρeau = 1000 kg.m-3 .
Les altitudes ZA et ZB des points A et B sont indiquées sur le schéma.
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Exercices de mécanique des fluides n°6 Equation de continuité et équation de Bernoulli
1- Ecoulement laminaire ; pertes de charge : Applications.
Un écoulement d'huile de graissage de viscosité dynamique moyenne μ = 0,275 Pa.s et de masse volumique ρ = 890 kg.m-3 se fait dans un tube horizontal de diamètre nominal DN = 150 mm et de longueur L = 120 m. On installe sur ce tube, deux capteurs de pression statique constitués par deux manomètres (PI = Pressure Indicator sur le schéma) ; les valeurs des pressions relatives données par ces appareils sont : p2 = 1,12 bar et p3 = 0,465 bar.
patm = pression atmosphérique = 1,00×105 Pa, g = 9,81 m.s-2.
a- Calculer la différence de pression Δp23 = p2 - p3 en utilisant la loi de Poiseuille et en déduire la valeur du débit-volume qv puis la vitesse moyenne v du fluide dans le tube.
b- En déduire la valeur du nombre de Reynolds Re. Montrer qu'il s'agit bien d'écoulement laminaire.
Quels sont les autres types d'écoulement que vous connaissez ? Comment les distingue-t-on ? c- Exprimer la relation de Bernoulli ; quelles sont les conditions d'application ?
Appliquer la relation de Bernoulli entre les points 1 et 2 en négligeant tout frottement entre ces deux points (notamment au point A).
En déduire l'expression littérale donnant H en fonction de patm , p2, v, ρ et g. Calculer numériquement H.
Schéma de l'installation :
1
H
A 1
2 3
L
DN 150
PI PI
2- Pipe Line
Un pipe-line de 50,0 cm de diamètre intérieur est destiné à transporter du pétrole brut de viscosité dynamique 0,27 Pa.s et de masse volumique 900 kg·m–3 avec un débit-masse de 350 tonnes par heure.
Des stations de pompage sont régulièrement réparties le long de la conduite ; chaque pompe augmente la pression de 4,5 bar et est actionnée par un moteur de rendement 75 %.
a- Calculer le nombre de Reynolds et en déduire le type de cet écoulement.
b- Calculer la distance maximale entre deux stations de pompage permettant l'écoulement du pétrole.
c- Calculer la puissance de chaque moteur.
3°)
Quel doit être le diamètre d'un conduit de 20 cm de longueur pour qu'une différence de pression entre ses extrémités de 100 bars permette un débit d'eau de 10 L.s-1. (μ = 10-3 Pa.s)4°)
A quelle vitesse l'eau s'échappe-t-elle par un orifice situé au fond d'un réservoir contenant une hauteur d'eau de 4 m si un piston permet d'exercer une pression supplémentaire de 5.104 Pa sur la surface libre de l'eau.EXERCICE : Détermination de la viscosité dynamique du glycérol à l’aide d’un viscosimètre à chute de bille.
Partie A : approche théorique.
Pour déterminer la viscosité μ du glycérol, on mesure la vitesse v de chute d’une bille sphérique, de masse m, dans un tube vertical rempli de glycérol. La bille atteint rapidement une vitesse limite v à cause de la force de résistance due à la viscosité.
On admet que la bille est soumise à trois forces :
Son poids P = m g , la poussée d’Archimède FA = - ρ1 V g et la force de viscosité T = - 6 π μ R v
• Justifier que la bille atteint rapidement une vitesse limite vL
• Ecrire la relation vectorielle caractérisant la phase de mouvement rectiligne uniforme.
h
Déduire de cette relation vectorielle une expression littérale de la viscosité μ en fonction de vL , ρ1 et ρ2 g et R (ρ2 est la masse volumique de la bille)
Partie B : approche expérimentale.
Données : Volume V de la bille V = (4/3)πR3
Accélération de la pesanteur g = 9.81 m.s-2 Masse volumique de l’eau ρEAU = 1000 kg.m-3
On chronomètre la durée t de la chute de la bille pour plusieurs hauteurs h (deux capteurs optiques déclenchent un chronomètre électronique). La bille a une vitesse nulle en A.
La température du glycérol est constante et égale à 20 °C .
1a - La densité du glycérol est d = 1.26, calculer sa masse volumique ρ1
1b - La bille a une masse m = 2,54.10-4 kg et un rayon R = 2,0.10-3 m Calculer la masse volumique ρ2 de la bille (en acier)
2- On mesure la durée t de chute de la bille pour différentes hauteurs h, on obtient le tableau ci- dessous. Construire le graphique h = f(t) sur papier millimétré. Quelle est la nature de la courbe ? En déduire la valeur de la vitesse limite de la bille.
h (m) 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 t (s) 5,45 7,25 9,10 10,90 12,75 14,55 16,35 18,20 20,05 21,85
3a - En utilisant les valeurs numériques obtenues pour ρ1 etρ2 (questions 1a et 1b) montrer que l’on peut écrire :
μ = 0,05 g / 9 vL
En déduire la valeur de la viscosité du glycérol en l’exprimant en unités SI.
3b - Sachant que la valeur données par les tables est μ = 1,069 Pa.s, quelle est la précision de la mesure réalisée ?
