Avec seulement deux distances
Problème D330 de Diophante
Q1 : Trouver toutes les configurations possibles de 4 points distincts du plan tels que l’ensemble des distances entre deux points quelconques a exactement deux éléments.
Q2 : Trouver toutes les configurations possibles de 5 points distincts de l’espace tels que l’ensemble des distances entre deux points quelconques a exactement deux éléments.
Solution
Appelons u et v (u < v) les deux distances en jeu et matérialisons les par des traits bleus pour u et rouge pour v
Q1 Dans le plan, six cas se présentent :
- un sommet (au moins) est à la même distance des trois autres ;
- aucun sommet n’est à la même distance des trois autres.
Q2 Voici un essai de classification, dans l’espace, où les nouvelles classes ne comportent pas les configurations déjà trouvées antérieurement :
- les cinq points sont dans le même plan ;
- quatre points sont dans le même plan, sur un même cercle ;
- trois triangles équilatéraux ont un côté commun (ici avec filet blanc) ;
- un triangle équilatéral (ici rosi) et deux points sur son axe ;
- quatre points sur une sphère, dont le cinquième est le centre ;
Il en manque certainement …
