D330. Avec seulement deux distances
Q1 : Trouver toutes les configurations possibles de 4 points distincts du plan tels que l’ensemble des distances entre deux points quelconques a exactement deux éléments.
Q2 : Trouver toutes les configurations possibles de 5 points distincts de l’espace tels que l’ensemble des distances entre deux points
quelconques a exactement deux éléments .
Solution de Jean NICOT Question Q1 : 4 points dans le plan
Avec les 4 points cocycliques, on a une configuration en carré et une avec 4 sommets d’un pentagone régulier.
Les autres configurations partent d’un triangle équilatéral avec le dernier point disposé en 4 endroits acceptables.
On notera a la distance la plus courte et b la plus longue.
Une configuration est repérée par les 4 valeurs
{nombre de longueurs courtes, nombre de longues, rapport b/a, si pentaèdre non convexe}
Les 6 configurations pour 4 points du plan
Question Q2 : 5 points dans l’espace
Avec 4 points coplanaires : on a alors besoin d’une symétrie axiale, donc de points cocycliques.
Le carré fournit deux configurations, en pyramide droite à base carrée, selon que les 4 arêtes ajoutées ont a ou b pour longueur
{8 ; 2 ; ◊2=1,414} et {4 ; 6 ; ◊2=1,414}
La base presque pentagonale fournit de la même façon deux autres configurations {7 ; 3 ; 2cos(p/5)=1,618} et {3 ; 7 ; 2cos(p/5)=1,618}
En général, on peut commencer avec 3 points A, B, C ayant donc un cercle circonscrit de centre O, que l’on supposera dans le plan horizontal et de rayon unité, à une homothétie près.
Si les 3 points forment un triangle équilatéral, de côté a , on obtient 4 configurations,
A partir de 3 points formant un triangle équilatéral ABC, on peut obtenir 4 configurations.
L’une avec un tétraèdre régulier grâce à un point D et son symétrique E, repérée {9 ; 1 ; 2 ÷6 /3= 1,63299},
Deux autres avec un tétraèdre régulier ABCD et le sommet du second tétraèdre de base ABC situé à une distance égale à a au dessus ou au dessous de D, repérées
{7 ; 3 ; ÷(2+÷(24) /3 ) = 1.906 ; } non convexe et {7 ; 3 ; ◊(2 - ◊(24) /3 ) = 0,6058}
renommé en permutant a et b {3 ; 7 ; ÷(6+÷(24)) /2 = 1,65068}
La dernière configuration est obtenue avec deux tétraèdres symétriques de hauteur a/2
repérée {4 ; 6 ; ◊(21) /6 = 0,7637} renommé en permutant a et b {6 ; 4 ; 2÷(21) /7 =1,3093}
Si les 3 points A, B, C déterminant le cercle horizontal de centre O ne forment pas un triangle équilatéral, ils doivent former un triangle isocèle avec AB=AC. On notera a la longueur des deux distances égales et b l’autre. Le côté a est vu du centre O sous un angle α .
0 <α < p et b>a si α < 2p/3 a = 2 sin(α/2)
b = 2 sin α = 2 a cos(α/2)
Les 2 derniers points D ou D’ ou E ou E’, situés sur la perpendiculaire en O au plan du cercle et au-dessus pour D et E , au-dessous pour D’ et E’ avec les conditions AD=AD’=b, AE=AE’=a, et avec DD’ ou EE’ ou DE ou DE’ = a ou b.
On a donc 8 cas à examiner.
On simplifiera la notation en posant s = sin(α/2) d’où a²=4s² et b²=16s²(1-s²)
1- AE=AE’=EE’ = a d’où a² = 1 + a²/4 soit 3s²=1 s = ◊3 /3
α = 2 arcsin(◊3 /3) = 1,23096 = 70.52° seule solution dans la plage de α b/a = 2 ◊6 /3 = 1,.63299 On retrouve ici le cas du tétraèdre régulier et de son symétrique par rapport à une base, de repère {9; 1; 1,63299}
2 – AE=AE’=a et EE’=b d’où a²=1+b²/4 soit 4s²= 1+4s²(1 d’où -s²) soit s=◊2/2 α = p/2 et b/a = ◊2= 1,414. Comme BCEE’ sont dans le même plan, on retrouve la petite pyramide à base carrée{8 ; 2 ; ◊2=1,414}
A noter qu’on ne peut retrouver la grande pyramide à base carrée par la méthode utilisée pour les 8 cas en cours.
3- AD=AD’=b DD’=a d’où b²=1+a²/4 soit 16s²(1-s²)=1+s² ou 16s4 -15s² +1 =0 s² = (15≤◊(161))/32 d’où les deux solutions positives
s=0,26876 α = 0,5442 =31,181° b/a = 1,9264
d’où le repère {3; 7; 1,9264}
s=0,93198 α = 2,3899 =136,93° b/a =0.7341 a/b=1,36218
on permute a et b pour le repère {7; 3; 1,36218}
4- AD=AD’=b DD’=b d’où b²=1+b²/4 soit 3b²=4 d’où sin α =◊3 /3 α =0,61548 = 35, 26° b/a=1,9060 d’où le repère {2; 8; 1,9060}
et aussi p- α =2,6261 =144,73° b/a=0,6058=1/1,6507
on permute a et b pour le repère {8; 2; 1,6507}
5- AD=b AE’=DE’=a d’où a = ◊( b²-1) + ◊(a²-1) soit b4-4a²b²+4a²=0 En exprimant en fonction de S= s², on obtient
16S3-16S²+1=0=0 qui possède une racine négative ne convenant pas et deux racines positives entre 0 et +1, encadrant 2/3
égales à 0,92731883986 et 0,298484141619 pour s² soit 0,96297395596 et 0,268760026531 pour s α = 2,595649 = 148, 72° et α = 0,54421=31,18° d’où b = 1,03845 et b = 1,03549
a = 1,92594 et a = 0,53752 qui ne convient pas car <1 b/a = 0,53919 = 1/ 1,8546
On vérifie que ◊( b²-1) + ◊(a²-1) = 0,27996 + 1,64598 vaut bien a On permute a et b pour le repère {4; 6; 1,8546}
6- AD=b AE=DE=a d’où a = ◊( b²-1) - ◊(a²-1), on obtient la même équation que précédemment du fait des élévations au carré, donc la même valeur pour α . Cette solution ne convient évidemment pas pour la différence des radicaux.
7- AE’=a AD=DE’=b d’où b = ◊( b²-1) + ◊(a²-1) soit a4-4a²b²+4b²=0
En exprimant en fonction de S= s², on obtient 16S² -19S +4=0 soit S=(19≤◊(105))/32 S = 0,913967 ou 0,273533
s = 0,956016 ou 0,52300
α = 2,54621 = 145,89° ou 1,1007= 63,07°
b = 1,1216 ou 1,7830
a = 1,9120 ou 1,0460
b/a= 0,5866=1/7047 ou 1,7047
Pour la seconde valeur, on vérifie que ◊( b²-1) + ◊(a²-1) = 1,4763 + 0,3068 = 1,7830 = b et correspond au repère {5; 5; 1,7047}
La première valeur vérifie ◊( a²-1) - ◊(b²-1) = 1,6296 -0,5080 =1,1216 = b, solution du cas suivant.
8- AE=a AD=DE=b d’où b = ◊( b²-1) - ◊(a²-1) soit la même équation a4-4a²b²+4b²=0 dont la solution est fournie par la première série de valeurs du cas précédent.
Il correspond au repère {5; 5; 1,7047 ; } non convexe.
On a ainsi trouvé 15 configurations pour 5 points de l’espace.
