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A 329. Indépendants et solidaires Solution proposée par Michel Lafond On a par exemple : E

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Academic year: 2022

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A 329. Indépendants et solidaires Solution proposée par Michel Lafond

On a par exemple : E2 = {1, 3} E3 = {1, 7, 13} E4 = {1, 13, 25, 37}.

Pour chacun de ces ensembles, chaque sous-ensemble a une moyenne entière, et les éléments sont premiers entre eux deux à deux.

Plus généralement, si n > 1 est un entier donné, notons :

 le PPMC de {1, 2, 3, …, n} et En = {1, 1 + , 1 + 2, 1 + 3 … , 1 + (n – 1)}.

Les éléments En sont solidaires car la moyenne d’un sous-ensemble quelconque de En ayant k éléments,

soit F = {1 + 1, 1 + 2, … 1 + k} est m = k k

k i

i

i

1

qui est entier puisque k  n divise .

Les éléments En sont premiers entre eux deux à deux car :

Si un entier d divisait à la fois 1 +   et 1 +  , avec 0   <   n – 1, d serait premier avec  et diviserait ( – ) , donc ( – ). Mais ( – ) est inférieur à n donc divise  = PPMC {1, 2, …, n}.

d, premier avec  et divisant ( – ) donc  ne peut qu’être égal à 1.

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