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A 327. Les nombres prospères Solution de Michel Lafond L’équation diophantienne (E) 8 a

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Texte intégral

(1)

A 327. Les nombres prospères

Solution de Michel Lafond

L’équation diophantienne (E) 8 a2 + 1 = b2 possède une infinité de solutions.

En effet :

Supposons : 8 a12 + 1 = b12 et 8 a22 + 1 = b22 avec b1 b2  8 a1 a2 = 3 (H) Cette hypothèse est vraie pour a1 = 1, b1 = 3 et a2 = 6, b2 = 17.

Posons a3 = 6 a2  a1 et b3 = 6 b2  b1. On a alors : 8 a32

+ 1 = 8 (6 a2  a1)2 + 1 = 8 (36 a22  12 a1 a2 + a12

) + 1

8 a32 + 1 = 36  8 a22  12  8 a1 a2 + 8 a12 + 1 = 36  (b22  1)  12  (b1 b2  3) + b12

. 8 a32

+ 1 = 36 b22  12 b1 b2 + b12

= (6 b2  b1)2 = b32

8 a32

+ 1 = b32

(1)

Et aussi : b2 b3  8 a2 a3 = b2 (6 b2  b1)  8 a2 (6 a2  a1) = 6 b22  48 a22  b1 b2 + 8 a1a2 . b2 b3  8 a2 a3 = 6 (b22  8 a22

)  (b1 b2  8 a1a2 ) = 6  1  3 = 3 b2 b3  8 a2 a3 = 3 (2)

D’après (1) et (2), (H) est vérifiée au rang suivant, la récurrence fonctionne, ce qui donne par itérations une infinité de solutions pour (E).

Or 8 a2 et b2 sont évidemment prospères, et ils sont consécutifs.

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