A327. Les nombres prospères
Solution élémentaire
Il est clair que «nest propère⇔n=a2b3 poura, b>1 ».
Pour s’en convaincre, écrivonsn= Y
ppair
ap Y
iimpair
bi,et remarquons que si : – p>2 est pair, alorsp= 2qet ap= (aq)2.
– i>3 est impair, alorsi−3>0 est pair eti= 3 + 2j, d’oùbi=b3 bj2 . Montrons que «netn+ 1 prospères⇒4n(n+ 1) et 4n(n+ 1) + 1 prospères ».
En effet, sin=a2b3 etn+ 1 =c2d3, alors : – 4n(n+ 1) = (2ac)2(bd)3
– 4n(n+ 1) + 1 = (2n+ 1)2
Autre solution basée sur une équation de Pell-Fermat Considérons l’équation (E) :a2−2b2= 1.
Sibétait impair, alorsb2≡1 (mod 4) eta2= 2b2+ 1≡3 (mod 4) : impossible puisquea2≡0 ou 1 (mod 4). Ainsibest nécessairement pair.
(E) admet pour solution fondamentale (3,2) permettant de générer l’ensemble infini de solutions an+bn√
2 = 3 + 2√ 2n
= 1 +√ 22n
que nous pouvons également décrire par la récurrence
an+1 bn+1
=
3 4 2 3
an bn
pourn>1.
a2n,2b2n forme une infinité de paires de nombres entiers consécutifs prospères.
Prolongement
Erdös a conjecturé en 1975 qu’il n’existait pas trois entiers consécutifs prospères.
La question semble toujours ouverte...
Webographie
Les 2 solutions fournissent chacune une sous-suite de la suite A060355.
1
