A327: Les nombres prospères
Par convention un nombre entier naturel n est appelé « prospère » si tous les exposants de ses facteurs premiers sont supérieurs ou égaux à 2. Démontrer qu’il existe une infinité de paires de nombres entiers consécutifs prospères.
La première paire de nombres prospères est 8=23 et 9=32.
Si n et n+1 sont des nombres prospères, il en est de même de 4n(n+1) et de 4n(n+1)+1=(2n+1)2 , ce qui assure l’infinité de la suite de paires: (8,9), (288,289) (332928,332929)...
Remarquons également que si 2n et n+1, ou n et 2(n+1), sont prospères, sans que n ou n+1 le soient, tels 49 et 100, ou 1681 et 3364, etc... : cela engendre de nouvelles suites commençant par (9800,9801), ou (11309768, 11309769)...
Enfin, puisque (k+1)2 =k(k+2)+1, on obtient encore une autre suite si k et k+2 sont prospères impairs, tels 25 et 27, soit (675,676), (1825200,1825201),...
Un recensement exhaustif des paires d’entiers consécutifs prospères semble assez compliqué...
